Question

1.При якому k рівНЯННЯ x2+kx-24=0. має корінь -6.Знайти другий корінь ріВНЯННЯ.2.Знайти корені рівняння (х-5)*(x-5)-3(х-2)-19=03.Дано квадратне рівняння х2-9х-2=0; Знайти суму квадратів кореніврівняння не розв язуючи його.( x2 цеху квадраті)​

Answer 1

1. При каком значении k уравнение x²+kx−24 = 0 имеет корень −6. Найти второй корень .  

$x^2+kx-24=0, \quad x_1=-6\\(-6)^2-6k-24=0\\36-6k-24=0\\6k = 12\\k=2\\\\x^2+2x-24=0\\\left(x^2-4x\right)+\left(6x-24\right)=0\\x\left(x-4\right)+6\left(x-4\right)=0\\\left(x-4\right)\left(x+6\right)=0\\x-4 = 0 \qquad x+6=0\\x=4 \qquad \qquad x=-6$

Ответ: k =2, x₂ = 4.

2.Найти корни уравнения (x−5)(x−5)−3(x−2)−19 = 0

$\left(x-5\right) \left(x-5\right)-3\left(x-2\right)-19=0\\\left(x-5\right)^2-3x+6-19=0\\x^2-10x+25-3x-13=0\\x^2-13x+12=0\\\left(x^2-x\right)+\left(-12x+12\right)=0\\x\left(x-1\right)-12\left(x-1\right)=0\\\left(x-1\right)\left(x-12\right)=0\\x-1=0 \qquad x-12=0\\x=1 \qquad \qquad x=12$

Ответ: х₁ = 1; x₂ = 12.

3. Дано квадратное уравнение x²−9x−2 = 0. Найти сумму квадратов корней  уравнения, не развязывая его.

За т. Виета:

$\left \{ {{x_1+x_2=9} \atop {x_1x_2=-2}} \right. \\\left \{ {{ x_1x_2=-2} \atop {(x_1+x_2)^2=9^2}} \right. \\\left \{ {{ x_1x_2=-2 } \atop { x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 = 81}} \right. \\\left \{ {{ x_1x_2=-2 } \atop { x_1^2+2(-2)+x_2^2 = 81}} \right. \\\left \{ {{ x_1x_2=-2 } \atop { x_1^2+x_2^2 = 85}} \right. \\\\x_1^2+x_2^2 = 85$

Ответ: Сумма квадратов корней равна 85.

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожне з запитань по черзі:

1. При якому k рівняння x^2 + kx - 24 = 0 має корінь -6? Щоб знайти таке значення k, ми можемо використовувати факт, що якщо корінь -6, то x + 6 = 0 має бути одним зі знаменників рівняння (за теоремою Вієта про суму коренів). Отже:

x^2 + kx - 24 = (x + 6)(x - a),

де a - інший корінь рівняння.

Розкривши дужки, отримуємо:

x^2 + kx - 24 = x^2 + (6 - a)x - 6a.

Зрівняємо коефіцієнти при однакових ступенях x:

k = 6 - a, -24 = -6a.

З другого рівняння знаходимо a = 4, підставимо це значення в перше рівняння:

k = 6 - a = 6 - 4 = 2.

Отже, k = 2.

2. Знайдемо корені рівняння (x - 5)(x - 5) - 3(x - 2) - 19 = 0:

(x - 5)(x - 5) - 3(x - 2) - 19 = x^2 - 10x + 25 - 3x + 6 - 19 = x^2 - 13x + 12 - 19 = x^2 - 13x - 7 = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння x^2 - 13x - 7 = 0. Знайдемо суму квадратів коренів без розв'язування рівняння. За теоремою Вієта:

Сума коренів: S = -(-13) = 13.

Сума квадратів коренів: S^2 = 13^2 = 169.

3. Для рівняння x^2 - 9x - 2 = 0 знайдемо суму квадратів коренів без розв'язування рівняння. Знову використовуємо теорему Вієта:

Сума коренів: S = 9.

Сума квадратів коренів: S^2 = 9^2 = 81.

Отже, сума квадратів коренів рівняння x^2 - 9x - 2 = 0 дорівнює 81.