Question

Вказати всі корені рівняння (x-3)4-5(x-3)2-36=0

Answer 1

(x-3)4-5(x-3)2-36=0

(x-3)4-5(x-3)2=36

(4-5×2)(x-3)=36

(4-10)(x-3)=36

-6(x-3)=36

x-3=-6

x=-6+3

x= - 3

Answer 2

Для зручності позначимо $y = x - 3$. Підставимо це значення у дане рівняння:

$y^4 - 5y^2 - 36 = 0$

Зробимо заміну $z = y^2$, тоді рівняння стане:

$z^2 - 5z - 36 = 0$

Тепер можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

$z = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$

Отже, маємо два значення для $z$:

1. $z_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$
2. $z_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$

Тепер повернемося до змінної $y$ за допомогою кореня квадратного:

1. $y_1^2 = 9 \Rightarrow y_1 = \pm 3$
2. $y_2^2 = -4 \Rightarrow$ Немає реальних коренів для $y_2$, оскільки квадрат не може бути від'ємним числом.

Зараз повернемося до початкової змінної $x$:

1. $y_1 = x - 3 = 3 \Rightarrow x_1 = 3 + 3 = 6$
2. $y_1 = x - 3 = -3 \Rightarrow x_2 = -3 + 3 = 0$

Отже, корені рівняння $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 - 36 = 0$ - це $x_1 = 6$ та $x_2 = 0$.