Question

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2,причем х1 < х2. Вероятность того, что Х примет значение х1 равно 0.3. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М[Х]=1.1 и дисперсию D[Х]=1.89

Answer 1

Случайная величина X — дискретная, значит

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=x_1p_1+x_2p_2=1{,}1\\ \\ DX=MX^2-(MX)^2=\sum_ix_i^2p_i-1{,}1^2=x_1^2p_1+x_2^2p_2-1{,}21=1{,}89$

Составим систему уравнения и найдем данные

$\begin{cases} & \text{ } x_1\cdot 0{,}3+x_2p_2=1{,}1 \\ & \text{ } x_1^2\cdot 0{,}3+x_2^2p_2=3{,}1 \\ & \text{ } p_1+p_2=1 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } x_1=-1 \\ & \text{ } x_2=2 \\ & \text{ } p_2=0{,}7 \end{cases}$

Закон распределения случайной величины X :

Xi           -1              2

Pi          0,3          0,7

Answer 2

Для нахождения закона распределения случайной величины Х, зная математическое ожидание и дисперсию, нужно воспользоваться системой уравнений, связывающих эти параметры.

Пусть p1 и p2 - вероятности того, что Х примет значения х1 и х2 соответственно. Так как Х принимает только два возможных значения, то p1 + p2 = 1.

Математическое ожидание определяется следующим образом: E[X] = х1 * p1 + х2 * p2

Дисперсия определяется следующим образом: D[X] = (х1^2) * p1 + (х2^2) * p2 - (E[X])^2

Подставим значения из условия и составим систему уравнений:

Система уравнений: 0.3 = х1 * p1 + х2 * p2 ---(1) 1.89 = (х1^2) * p1 + (х2^2) * p2 - (1.1)^2 ---(2)

Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными p1 и p2. Решим эту систему уравнений.

Из уравнения (1) получаем: p1 = (0.3 - х2 * p2) / х1 ---(3)

Подставим p1 из уравнения (3) в уравнение (2):

1.89 = (х1^2) * ((0.3 - х2 * p2) / х1) + (х2^2) * p2 - (1.1)^2 1.89 = 0.3 - х2 * p2 + (х2^2) * p2 - (1.1)^2 1.89 - 0.3 + (1.1)^2 = х2 * (p2 - (х2^2) * p2) 1.89 - 0.3 + 1.21 = х2 * (1 - х2) * p2 2.8 = х2 * (1 - х2) * p2

Так как х1 < х2, то p2 не может быть равно нулю. Поэтому можно разделить обе части уравнения на p2:

2.8 / p2 = х2 * (1 - х2)

Так как х1 < х2, то х2 > 0. Также, так как х1 < х2, то p1 = 0.3 - х2 * p2 > 0. Следовательно, p2 > 0.

В итоге, уравнение 2.8 / p2 = х2 * (1 - х2) имеет два решения: х2 = 0.8 и х2 = 2.8.

Подставим значения х2 в уравнение (3) и найдем соответствующие значения p1:

Для х2 = 0.8: p1 = (0.3 - 0.8 * p2) / х1 p1 = (0.3 - 0.8 * p2) / х1

Для х2 = 2.8: p1 = (0.3 - 2.8 * p2) / х1 p1 = (0.3 - 2.8 * p2) / х1

Таким образом, закон распределения Х определяется следующим образом:

Для х1 = 0.8, p1 = (0.3 - 0.8 * p2) / 0.8 Для х2 = 2.8, p2 > 0, p1 = (0.3 - 2.8 * p2) / 0.8