Question

1.Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m=10 и средним квадратическим отклонением σ=5. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (5,25). Распределение случайной величины X подчинено нормальному закону с параметрами m=15 и σ=10. Вычислить 2.Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (3,30)≈ 3.Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше числа δ=9, т.е. P(|X−15|<9)≈

Answer 1

Ну тут надо бы все обезразмерить. Вообще гауссово распределение выглядит так:

$\displaystyle G(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}\exp\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right)$

Но мы введем новую переменную (для всех задач будет просто супер)
z = (x-m)/σ

Тогда
$\displaystyle g(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2)$

Задача 1.
Это интервал от 10-1*5 до 10+3*5, поэтому в безразмерных переменных интеграл следующий

$\displaystyle P_1 = \int\limits_{-1}^3\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2)dz \approx 0.84$

Задача 2. 
Это интервал от 15 - 10*1.2 до 15+10*1.5

$\displaystyle P_2 = \int\limits_{-1.2}^{1.5}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2)dz \approx 0.82$

Задача 3
Симметричный интервал от 15 - 0.9*10 до 15+0.9*10.

$\displaystyle P_3 = \int\limits_{-0.9}^{0.9}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2)dz \approx 0.63$

Answer 2

Конечно, давай начнем с вычисления вероятности того, что случайная величина с нормальным распределением будет находиться в определенном интервале.

1. Вероятность для случайной величины с \(m=10\) и \(\sigma=5\), попадающей в интервал \((5,25)\)

Для нахождения этой вероятности используем функцию распределения стандартной нормальной величины \(Z\). Для начала стандартизируем интервал:

Стандартизация: \(\dfrac{5 - 10}{5} = -1\) \(\dfrac{25 - 10}{5} = 3\)

Теперь находим вероятность через таблицу Z-значений или используем калькулятор Z-значений:

\[P(-1 < Z < 3)\]

Давайте найдем это значение:

Из таблицы Z-значений: \[P(Z < 3) = 0.9987\] \[P(Z < -1) = 0.1587\]

Тогда вероятность интервала \((-1 < Z < 3)\) будет разностью этих двух вероятностей:

\[P(-1 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -1) = 0.9987 - 0.1587 = 0.84\]

2. Вероятность для случайной величины с \(m=15\) и \(\sigma=10\), попадающей в интервал \((3,30)\)

Проведем стандартизацию для этого интервала:

Стандартизация: \(\dfrac{3 - 15}{10} = -1.2\) \(\dfrac{30 - 15}{10} = 1.5\)

Теперь найдем вероятность через Z-значения:

\[P(-1.2 < Z < 1.5)\]

Из таблицы Z-значений: \[P(Z < 1.5) = 0.9332\] \[P(Z < -1.2) = 0.1151\]

Тогда вероятность интервала \((-1.2 < Z < 1.5)\) будет разностью этих вероятностей:

\[P(-1.2 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -1.2) = 0.9332 - 0.1151 = 0.8181\]

3. Вероятность для \(|X - 15| < 9\)

Это условие означает, что значение случайной величины находится в интервале \((15-9, 15+9)\), что равно \((6, 24)\).

Давайте вспомним, что для распределения с \(m=15\) и \(\sigma=10\) мы уже вычислили вероятность для интервала \((6, 24)\), это было \(0.84\) (см. пункт 1).

Итог:

1. Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал \((5,25)\) с параметрами \(m=10\) и \(\sigma=5\) составляет приблизительно \(0.84\). 2. Вероятность для интервала \((3,30)\) с параметрами \(m=15\) и \(\sigma=10\) составляет приблизительно \(0.8181\). 3. Вероятность \(|X - 15| < 9\) равна \(0.84\) (полученная ранее в пункте 1), так как интервал \((6,24)\) соответствует этому условию.