Question

Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если b₂ =6, b₄ = 24. Найти пятнадцатый член геометрической прогрессии (bn), если b5=1/4, b10 = 8.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)  

Сумма первых n членов прогрессии: Sn = A1·(qn- 1)/(q - 1)

S4 = 3·(24- 1)/(2 - 1) = 45

2)

Подбором можно понять, что q = 2

а дальше по формуле получаем, что 15 член равен 256

(8*2*2*2*2*2)

Answer 2

Для геометрической прогрессии общий член выражается формулой:

$b_n = b_1 \cdot r^{n-1},$

где $b_n$ - $n$-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии, $n$ - порядковый номер члена.

Для первой задачи у нас есть информация о $b_2$ и $b_4$:

$b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Используя формулу для общего члена прогрессии, мы можем написать:

$b_2 = b_1 \cdot r^{2-1} = b_1 \cdot r,$ $b_4 = b_1 \cdot r^{4-1} = b_1 \cdot r^3.$

Теперь мы можем составить систему уравнений:

$$\begin{align*} b_1 \cdot r &= 6 \\ b_1 \cdot r^3 &= 24 \\ \end{align*}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{b_1 \cdot r^3}{b_1 \cdot r} = \frac{24}{6} \\ r^2 = 4 \\ r = 2.$$

Теперь мы можем найти первый член $b_1$:

$$b_1 = 3.$$

Таким образом, первые четыре члена прогрессии будут:

$b_1 = 3, \quad b_2 = 6, \quad b_3 = 12, \quad b_4 = 24.$

Сумма этих четырех членов:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 3 + 6 + 12 + 24 = 45.$

Для второй задачи у нас есть информация о $b_5$ и $b_{10}$:

$b_5 = \frac{1}{4}$ и $b_{10} = 8$.

Мы можем использовать аналогичную логику:

$$\begin{align*} b_1 \cdot r^4 &= \frac{1}{4} \\ b_1 \cdot r^9 &= 8 \\ \end{align*}$$

Поделим второе уравнение на первое:

$$\frac{b_1 \cdot r^9}{b_1 \cdot r^4} = \frac{8}{\frac{1}{4}} \\ r^5 = 32 \\ r = 2.$$

Теперь мы можем найти первый член $b_1$:

b_1 = \frac{1}{4 \cdot 2^4} = \frac{1}{64}.\] И теперь можем найти пятнадцатый член \(b_{15}\): \[b_{15} = b_1 \cdot 2^{15-1} = \frac{1}{64} \cdot 2^{14} = 32.\] Таким образом, \(b_{15} = 32\).