Question

Задание. Найти общее решение (интеграл) однородного дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка: 3xy'=2y+9x

Answer 1

$\displaystyle 3xy'=2y+9x\\y=tx;y'=t'x+t\\3x(t'x+t)=2tx+9x|:x\\3t'x+3t=2t+9\\3x\frac{dt}{dx}=-t+9|*\frac{dx}{x(9-t)}\\\frac{dx}{x}=\frac{3dt}{9-t}\\\int\frac{dx}{x}=3\int\frac{dt}{9-t}\\\int\frac{dx}{x}=-3\int\frac{d(9-t)}{9-t}\\ln|x|=-3ln|9-t|+C\\ln|x|=-3ln|9-\frac{y}{x}|+ln|C|\\1=\frac{Cx^2}{(9x-y)^3}\\\frac{(9x-y)^3}{x^2}=C$

Answer 2

Для решения данного однородного дифференциального уравнения первого порядка:

3xy' = 2y + 9x

мы можем использовать метод разделения переменных.

Для начала, давайте разделим переменные, переместив все, что содержит y, на одну сторону уравнения, а все, что содержит x, на другую сторону:

3xy' - 2y = 9x

Затем разделим наше уравнение на x(2y - 3x), чтобы избавиться от y' и собрать y и x в отдельные части:

$\frac{{3xy' - 2y}}{{x(2y - 3x)}} = \frac{{9x}}{{x(2y - 3x)}}$

Упрощая выражение, получим:

$\frac{{3y'}}{{2y - 3x}} = \frac{9}{{2x}}$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной x:

$\int \frac{{3y'}}{{2y - 3x}} \, dx = \int \frac{9}{{2x}} \, dx$

Левая часть уравнения может быть проинтегрирована с использованием замены переменной. Положим $2y - 3x = u$, тогда $-3 \, dx = du$ и $\frac{{3y'}}{{2y - 3x}} \, dx = \frac{{3y'}}{{u}} \, du$. Заменим в уравнении, получим:

$\int \frac{{3y'}}{{u}} \, du = \int \frac{9}{{2x}} \, dx$

$\int \frac{{3y'}}{{u}} \, du = 9 \int \frac{1}{{2x}} \, dx$

Теперь обе стороны уравнения можно проинтегрировать:

$3 \int \frac{{dy}}{{u}} = 9 \int \frac{{dx}}{{2x}}$

$3 \ln|u| + C_1 = 9 \ln|x| + C_2$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

Заменим обратно $u = 2y - 3x$ и $|u|$ на $u$, получим:

$3 \ln|2y - 3x| + C_1 = 9 \ln|x| + C_2$

С помощью свойств логарифмов упростим это выражение:

$\ln|2y - 3x|^3 + C_1 = \ln|x|^9 + C_2$

Используя свойство логарифмов $\ln(a^b) = b \ln(a)$, получим:

$\ln|2y - 3x|^3 + C_1 = \ln(|x|^9) + C_2$

Объединяя константы, получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

$\ln|2y - 3x|^3 = \ln(|x|^9) + C$

где $C = C_2 - C_1$ - новая произвольная постоянная.