Question

Y' = 2x(x^2+y) решить дифференциальное уравнение

Answer 1

$y' = 2x(x^2+y)\\ y'-2xy=2x^3\\ e^{-x^2}y+(-2xe^{-x^2})y=2x^3e^{-x^2}\\ (e^{-x^2}y)'_x=2x^3e^{-x^2}\\ e^{-x^2}y=\int 2x^3e^{-x^2} dx=\int (-x^2)e^{-x^2} d(-x^2)=(-x^2-1)e^{-x^2}+C\\ y=(-x^2-1)+Ce^{x^2}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Произведем необходимые шаги:

Исходное уравнение: y' = 2x(x^2 + y)

Разделим переменные, переместив y на одну сторону и x на другую:

dy / dx = 2x^3 + 2xy

Теперь выразим все, связанное с y, на одной стороне, а все, связанное с x, на другой:

dy / (y + 2xy) = 2x^3 dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1 / (y + 2xy)) dy = ∫(2x^3) dx

Левую интеграл можно решить, используя метод частных дробей. Разложим дробь на простейшие:

1 / (y + 2xy) = A / y + B / (2xy)

Умножим обе стороны на (y)(2xy):

1 = Ay + B(2x)

Подставим y = 0, чтобы найти B:

1 = 0 + 2Bx B = 1 / (2x)

Теперь подставим y = -1 / (2x), чтобы найти A:

1 = A(-1 / (2x)) A = -2x

Итак, разложение на простейшие дроби дает нам:

1 / (y + 2xy) = -2x / y + 1 / (2x)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫(-2x / y + 1 / (2x)) dy = ∫(2x^3) dx

-2∫(x / y) dy + ∫(1 / (2x)) dy = ∫(2x^3) dx

-2∫(x / y) dy + (1 / 2)∫(1 / x) dy = ∫(2x^3) dx

Теперь проинтегрируем каждую из частей:

-2∫(x / y) dy = -x^2 + C1, где C1 - константа интегрирования

(1 / 2)∫(1 / x) dy = (1 / 2) ln|x| + C2, где C2 - другая константа интегрирования

∫(2x^3) dx = (1/2)x^4 + C3, где C3 - третья константа интегрирования

Итак, мы получили:

-x^2 - 2∫(x / y) dy + (1 / 2) ln|x| = (1/2)x^4 + C3

Теперь решим уравнение относительно y:

-2∫(x / y) dy = (1/2)x^4 + x^2 + C3 - (1 / 2) ln|x|

∫(x / y) dy = -((1/4)x^4 + (1/2)x^2 + C3 - (1 / 2) ln|x|) / 2

Теперь выполним интегрирование:

∫(x / y) dy = -((1/8)x^4 + (1/4)x^2 + C3) + (1 / 4) ln|x| + C4, где C4 - четвертая константа интегрирования

Теперь можем выразить y:

x∫(1 / y) dy = -((1/8)x^4 + (1/4)x^2 + C3) + (1 / 4) ln|x| + C4

x ln|y| = -((1/8)x^4 + (1/4)x^2 + C3) + (1 / 4) ln|x| + C4

ln|y| = -((1/8)x^3 + (1/4)x + C3/x) + (1 / 4) ln|x|/x + C4/x

y = exp(-((1/8)x^3 + (1/4)x + C3/x) + (1 / 4) ln|x|/x + C4/x)

Итак, это и есть частное решение данного дифференциального уравнения.