Question

Найдите |z| , если |z|+z=1+2i

Answer 1

Мнимые части в равенстве: -Im(z) = 2, откуда z = x - 2i; x - вещественное.

|z|^2 = x^2 + 4

Вещественные части:

sqrt(x^2 + 4) - x = 1

sqrt(x^2 + 4) = 1 + x

x^2 + 4 = (1 + x)^2,   x >= -1

x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1,  x >= -1

x = 3/2

z = 3/2 - 2i

|z| = sqrt(9/4 + 4) = 1/2 * sqrt(9 + 16) = 5/2

Answer 2

Дано уравнение |z| + z = 1 + 2i, где z представляет собой комплексное число. Для нахождения значения |z|, мы можем использовать свойство модуля комплексного числа, а именно:

|z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2),

где Re(z) обозначает вещественную часть комплексного числа z, а Im(z) - мнимую часть.

Разделим данное уравнение на случаи для вещественной и мнимой частей:

Re(|z| + z) = Re(1 + 2i), Im(|z| + z) = Im(1 + 2i).

Перепишем комплексные числа z и 1 + 2i в терминах их вещественных и мнимых частей:

Re(|z|) + Re(z) = 1, Im(|z|) + Im(z) = 2.

Обозначим Re(|z|) за x, а Im(|z|) за y. Тогда уравнения примут вид:

x + Re(z) = 1, y + Im(z) = 2.

Мы знаем, что модуль комплексного числа является неотрицательным значением, поэтому |z| = sqrt(x^2 + y^2) >= 0. Теперь мы можем переписать уравнения в терминах x, y и Re(z), Im(z):

sqrt(x^2 + y^2) + (Re(z) - x) = 1, sqrt(x^2 + y^2) + (Im(z) - y) = 2.

Так как мы ищем значение |z|, которое является неотрицательным, мы можем проигнорировать корень в обоих уравнениях:

x + Re(z) - x = 1, y + Im(z) - y = 2.

Это дает нам следующие уравнения:

Re(z) = 1, Im(z) = 2.

Таким образом, комплексное число z имеет вещественную часть 1 и мнимую часть 2, что можно записать как z = 1 + 2i.

Теперь мы можем найти |z|:

|z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2) = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5).

Итак, |z| = sqrt(5).