Question

Дослидити функцию y=x³-6x²+9x+3 на рост, падение и экстремум.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення: фото

Answer 2

Находим производную. она равна 3х²-12х+9=0

3(х²-4х+3)=0, по Виету х=1, х= 3

проставим знаки производной при переходе через критические точки х=1 и х=3. с помощью метода координат.

____1_________3__________

+              -                   +

х=1- точка максимума. максимум равен 1-6+3+9=7

х=3- точка минимума, минимум равен 27-54+3+27=3

Answer 3

Чтобы исследовать функцию y = x³ - 6x² + 9x + 3 на рост, падение и экстремумы, необходимо проанализировать её производную и вторую производную.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x² - 12x + 9.

2. Поставим производную равной нулю и решим полученное уравнение для нахождения стационарных точек: 3x² - 12x + 9 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант: D = (-12)² - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36.

Так как D > 0, то у уравнения есть два различных корня.

x₁ = (-(-12) + √36) / (2 * 3) = (12 + 6) / 6 = 3. x₂ = (-(-12) - √36) / (2 * 3) = (12 - 6) / 6 = 1.

3. Чтобы определить, какие из найденных точек являются экстремумами, проанализируем вторую производную функции y: y'' = 6x - 12.

4. Подставим значения стационарных точек во вторую производную: y''(x₁) = 6 * 3 - 12 = 6 > 0, значит, x₁ = 3 - точка минимума. y''(x₂) = 6 * 1 - 12 = -6 < 0, значит, x₂ = 1 - точка максимума.

Теперь мы можем проанализировать функцию y = x³ - 6x² + 9x + 3 с учетом полученной информации:

1. Рост и падение:

• Функция растет на интервале (-∞, 1) и (3, +∞), так как производная y' положительна на этих интервалах.
• Функция убывает на интервале (1, 3), так как производная y' отрицательна на этом интервале.

2. Экстремумы:

• Точка (1, -3) является локальным максимумом функции y.
• Точка (3, -15) является локальным минимумом функции y.

Таким образом, функция y = x³ - 6x² + 9x + 3 имеет локальный максимум в точке (1, -3) и локальный минимум в точке (3, -15). Она растет на интервалах (-∞, 1) и (3, +∞), и убывает на интервале (1, 3).