Question

Найти точки экстремума функции f(x)=3^(x^3-3x)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Сначала умножим скобку на 3, получим

F(x)=3x^3-9x

Находим производную:

F'(x)=9x^2-9

Приравниваем производную к нулю:

9x^2-9=0

x^2-1=0

x^2=1

x1=1 x2=-1

Строим прямую, отмечаем точки

______-1________1_______

Подставим в производную 0, чтобы определить знаки.

Получается, что от -1 до 1 производная отрицательна. А с минус бесконечности до -1 и от 1 до плюс бесконечности знак положительный. Следовательно, точка минимума это 1, а точка максимума это -1.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 3^(x^3 - 3x), следует воспользоваться производной функции. Сначала найдем производную функции, а затем решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти точки, в которых производная меняет знак и функция имеет экстремум.

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = 3^(x^3 - 3x) Прологарифмируем обе стороны для упрощения: ln(f(x)) = ln(3^(x^3 - 3x)) ln(f(x)) = (x^3 - 3x) * ln(3)

   Теперь продифференцируем обе стороны: (1/f(x)) * f'(x) = (3x^2 - 3) * ln(3)

   Выразим производную f'(x): f'(x) = f(x) * (3x^2 - 3) * ln(3)

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: Необходимо решить уравнение f'(x) = 0: f(x) * (3x^2 - 3) * ln(3) = 0

   Это уравнение имеет два множителя: f(x) и (3x^2 - 3) * ln(3). Точки экстремума будут находиться там, где хотя бы один из множителей равен нулю.

   a) Первый множитель f(x) = 0 не имеет решений, так как 3^(x^3 - 3x) всегда положительно.

   b) Рассмотрим второй множитель: (3x^2 - 3) * ln(3) = 0 Решая это уравнение, получаем: 3x^2 - 3 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

3. Таким образом, найденные значения x = 1 и x = -1 являются кандидатами на точки экстремума функции.

4. Для определения типов экстремумов (максимума или минимума) нужно проанализировать знаки второй производной функции f''(x). Если f''(x) > 0, то это будет минимум; если f''(x) < 0, то максимум.

   Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной: f'(x) = f(x) * (3x^2 - 3) * ln(3) f''(x) = f'(x) * (3x^2 - 3) * ln(3) + f(x) * 6x * ln(3)

   Оценим знак второй производной: Подставим x = 1: f''(1) = 6 * ln(3) > 0 Подставим x = -1: f''(-1) = -6 * ln(3) < 0

   Таким образом, у точки x = 1 будет минимум, а у точки x = -1 - максимум.

Итак, у функции f(x) = 3^(x^3 - 3x) есть точка минимума в x = 1 и точка максимума в x = -1.