Question

Сколько корней имеет уравнение e^x=x

Answer 1

Можно, конечно, начертить графики и увидеть, что пересечений нет, но я напишу более строгое доказательство.

Чтобы уравнение имело решения, нужно чтобы область значений функции $y = e^x - x$ включала в себя ноль.

Найдем область значений функции $f(x)=e^x -x$. Для этого найдем точки экстремума.

$y'=e^x-1=0;\\\\e^x=1\Rightarrow x=0$

Так как при x < 0 y' < 0, а при x > 0  y' > 0, то x = 0 - точка минимума, в ней достигается наименьшее значение функции. Найдем его: для этого ноль необходимо подставить в исходную функцию.

y(0) = e⁰ - 0 = 1 - 0 = 1 > 0.

Уже сразу видно, что уравнение не имеет решений, т.к. если минимум функции больше 0, то понятно, что и любое другое значение функции тоже больше 0, а значит значение функции никогда не может равняться нулю и равенство $e^x-x=0$ выполняться не может, т.е. уравнения $e^x=x$ не имеет решений.

ОТВЕТ: 0.

Answer 2

Уравнение e^x = x не может быть решено аналитически с использованием элементарных функций. Однако, можно использовать численные методы для приближенного нахождения его решений.

Графически, можно заметить, что функции e^x и x пересекаются в двух точках. Одно решение находится в отрицательной области, а другое — в положительной области.

Для точного нахождения этих решений можно использовать численные методы, такие как метод половинного деления (бисекции), метод Ньютона или метод секущих.

Например, используя метод половинного деления, можно получить одно из решений, предполагая, что оно находится в определенном интервале. Затем интервал делится пополам до достижения нужной точности. Точно так же можно получить второе решение, предполагая другой интервал.

В общем, уравнение e^x = x имеет два решения, одно в отрицательной области и другое в положительной области.