Question

Из центра квадрата АВСD со стороной 18см. к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 12см. Найдите площадь треугольника АВМ.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Чертежи приведены ко 2-ому и 3-ему случаям!

Для 1-ого случая можно использовать 1-ый чертеж с введенными в объяснении уточнениями, исключив ненужные построения.

Заметим, что треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный. Тогда его высота (назовем ее OH) совпадает с медианой и равна $18\div2=9$. По теореме о трех перпендикулярах MH будет высотой треугольника ABM, а так как OM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то по теореме Пифагора $MH=\sqrt{144+81}=15$. Откуда $S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times15\times18=135$см².

Приведу другое решение задачи:

Проведем AO. Поскольку OM перпендикулярен плоскости, то ΔAOM прямоугольный. Заметим, что AO - половина диагонали квадрата, так как точка O - центр квадрата.

Найдем AO:

$x^2=18^2+18^2\\x^2=648\\x=18\sqrt{2}\\=>AO=9\sqrt{2}$

По теореме Пифагора для ΔAOM:

$AM=\sqrt{162+144}=3\sqrt{34}$

Аналогично $BM=3\sqrt{34}$, так как диагонали квадрата равны.

Искать площадь по формуле Герона не удобно, так как получили значения с корнями.

Поэтому воспользуемся теоремой косинусов:

$18^2=(3\sqrt{34})^2+(3\sqrt{34})^2-2\times(3\sqrt{34})^2\times\cos\alpha\\\cos\alpha=\dfrac{8}{17}\\=>\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$

Тогда площадь треугольника ABM равна:

$S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times(3\sqrt{34})^2\times\dfrac{15}{17}=\dfrac{9\times34\times15}{34}=9\times15=135$

Получили, что площадь треугольника ABM равна 135см².

Замечу, что в задаче не указано, что центр квадрата - это точка O. Так принято. Однако возможен другой случай, где эти точки поменяны местами. Тогда $S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times(9\sqrt{2})^2=81$. Единицы измерения см².

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника АВМ, нам нужно сначала найти длину его высоты (перпендикуляра) от вершины АМ к основанию ВМ. Мы знаем, что перпендикуляр ОМ восстановлен из центра квадрата АВСD, и его длина равна 12 см.

Поскольку АВСD - квадрат, диагонали квадрата делят его на 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Один из таких треугольников имеет катеты равные сторонам квадрата, то есть 18 см, а гипотенуза равна диагонали квадрата. По теореме Пифагора:

диагональ^2 = катет^2 + катет^2 диагональ^2 = 18^2 + 18^2 диагональ^2 = 2 * 18^2 диагональ = 18 * √2

Так как перпендикуляр ОМ восстановлен из центра квадрата и проходит через его середину, он делит диагональ пополам. Таким образом, длина перпендикуляра ОМ равна половине длины диагонали:

длина ОМ = (18 * √2) / 2 = 9 * √2 см

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВМ, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

Площадь = (основание * высота) / 2 Площадь = (18 см * 9 * √2 см) / 2 Площадь = 81 * √2 см^2

Таким образом, площадь треугольника АВМ составляет 81 * √2 квадратных сантиметров.