Question

Интеграл (1 / (x^2 + 1) + x^n) dx

Answer 1

Ответ:

arctg(x) + $\frac{x^(n + 1)}{n + 1}$  + C

Answer 2

Для решения данного интеграла вам потребуется использовать метод дробно-рациональных выражений. Разложим исходное выражение на простейшие дроби:

1 / (x^2 + 1) + x^n = A / (x + i) + B / (x - i) + Cx^n,

где A, B и C - некоторые коэффициенты, которые нужно найти.

Домножим обе части равенства на (x^2 + 1) и приведем к общему знаменателю:

1 = A(x - i)(x^2 + 1) + B(x + i)(x^2 + 1) + Cx^n(x^2 + 1).

Раскроем скобки:

1 = A(x^3 - ix^2 + x - i) + B(x^3 + ix^2 + x + i) + Cx^n(x^2 + 1).

Соберем все слагаемые:

1 = (A + B)x^3 + (-iA + iB + C)x^2 + (A + B)x + (-iA + iB).

Сравним коэффициенты при соответствующих степенях x:

A + B = 0, (1) -iA + iB + C = 0, (2) A + B = 0, (3) -iA + iB = 1. (4)

Из уравнений (1) и (3) следует, что A = -B. Подставим это в уравнение (4):

-i(-B) + iB = 1.

B = 1 / (2i) = -i / 2.

Таким образом, A = B = -i / 2. Подставим A и B в уравнение (2):

-i(-i / 2) + i(-i / 2) + C = 0.

1/2 + 1/2 + C = 0.

C = -1.

Итак, мы нашли значения коэффициентов A, B и C:

A = -i / 2, B = -i / 2, C = -1.

Теперь можем выразить исходное интегральное выражение в виде суммы дробей:

1 / (x^2 + 1) + x^n = (-i / 2) / (x + i) + (-i / 2) / (x - i) - x^n.

Теперь можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности. Интегралы от дробей 1 / (x + i) и 1 / (x - i) можно найти с помощью логарифмической функции:

∫(-i / 2) / (x + i) dx = (-i / 2) * ln|x + i| + C1, ∫(-i / 2) / (x - i) dx = (-i / 2) * ln|x - i| + C2,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Интеграл от x^n можно найти по формуле для степенных функций:

∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C3,

где C3 - произвольная постоянная.

Таким образом, итоговый интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫(1 / (x^2 + 1) + x^n) dx = (-i / 2) * ln|x + i| + (-i / 2) * ln|x - i| - (x^(n+1)) / (n+1) + C,

где C = C1 + C2 + C3 - произвольная постоянная.