Question

Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью x^2+y^2=8 и параболой y^2=2x. Пожалуйста, помогите!

Answer 1

$x^{2} + y^{2} = 8$ — уравнение окружности с центром $(0; \ 0)$ и радиусом $\sqrt{8}.$

$y^{2} = 2x$ — уравнение параболы

Изобразим графики данных уравнений и найдем площадь образовавшейся фигуры в правой полуплоскости.

Выразим ординаты данных уравнений:

$y = \pm\sqrt{8 - x^{2}}$ и $y = \pm\sqrt{2x}$

Так как имеем симметричные фигуры, найдем площадь $S_{1}$ одной из них. Общая их площадь $S$ будет состоять из площади двух $S_{1}$, то есть $S = 2S_{1}$

Тогда $y =\sqrt{8 - x^{2}}$ и $y = \sqrt{2x}$. Поэтому $\sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{2x}; \ 8 - x^{2} = 2x; \ x = 2 \geq 0$

Так как окружность вытесняет больше площади, чем парабола, то имеем разность их площадей, определяющаяся через определенный интеграл:

$S_{1} = \displaystyle \int\limits^{2}_{0} {\left(\sqrt{8 - x^{2}} - \sqrt{2x} \right)} \, dx = \int\limits^{2}_{0} {\sqrt{8 - x^{2}}} \, dx - \int\limits^{2}_{0} { \sqrt{2x} } \, dx$

Найдем первый интеграл геометрически: площадь круга находится по формуле $S = \pi R^{2}$, где $R$ — радиус круга. Тогда четверть круга: $S' = \dfrac{S}{4} = \dfrac{\pi R^{2}}{4} = \dfrac{\pi \cdot 8}{4} = 2\pi$

Найдем второй интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^{2}_{0} { \sqrt{2x} } \, dx = \dfrac{2\sqrt{2x^{3}}}{3} \bigg|_{0}^{2} = \dfrac{2\sqrt{2 \cdot 2^{3}}}{3} - \dfrac{2\sqrt{2 \cdot 0^{3}}}{3} = \dfrac{8}{3}$

Таким образом, $S_{1} = 2\pi - \dfrac{8}{3}$ кв. ед.

Тогда $S = 2S_{1} = 4\pi - \dfrac{16}{3}$ кв. ед.

Ответ: $4\pi - \dfrac{16}{3}$ кв. ед.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной окружностью x^2 + y^2 = 8 и параболой y^2 = 2x в правой полуплоскости.

1. Начнем с того, что найдем точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить область интегрирования.

Подставим y^2 = 2x в уравнение окружности: x^2 + 2x = 8 x^2 + 2x - 8 = 0

Решим это квадратное уравнение: (x - 2)(x + 4) = 0

x = 2 или x = -4.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, 2) и (-4, 4).

2. Теперь определим границы интегрирования по оси x. Это будет от -4 до 2.

3. Площадь фигуры можно выразить как интеграл по оси x от -4 до 2 разности верхней и нижней функций. В данном случае верхняя функция - это уравнение окружности, а нижняя функция - уравнение параболы.

Площадь = ∫[от -4 до 2] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Подставим уравнения: Площадь = ∫[-4 до 2] (√(8 - x^2) - √(2x)) dx

4. Вычислим этот интеграл. Однако он довольно сложный и может потребовать применения численных методов для вычисления.

В итоге, площадь фигуры, ограниченной окружностью x^2 + y^2 = 8 и параболой y^2 = 2x в правой полуплоскости, можно найти путем вычисления указанного интеграла. Если у вас есть доступ к инструментам для численного интегрирования, вы можете воспользоваться ими для вычисления приближенного значения этой площади.