Question

1. Исследуйте функцию на точки перегиба и выпуклость, если f(x)=(x+1)^4.

Answer 1

Ответ:

==============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции f(x) = (x + 1)^4 на точки перегиба и выпуклость, нужно проанализировать её вторую производную.

Шаг 1: Найдём первую производную f'(x): f'(x) = 4(x + 1)^3.

Шаг 2: Найдём вторую производную f''(x): f''(x) = 12(x + 1)^2.

Шаг 3: Исследуем знак второй производной, чтобы определить выпуклость функции: Для этого рассмотрим возможные интервалы значений x.

1. Если f''(x) > 0, то функция выпукла в этом интервале.
2. Если f''(x) < 0, то функция вогнута в этом интервале.
3. Если f''(x) = 0, то функция может иметь точку перегиба в этой точке.

Подставим f''(x) = 12(x + 1)^2 в неравенство:

12(x + 1)^2 > 0

(x + 1)^2 > 0

Так как (x + 1)^2 всегда положительно, то это неравенство выполняется для всех значений x. Значит, функция f(x) = (x + 1)^4 выпукла для всех значений x.

Также, чтобы найти точки перегиба, нужно решить уравнение f''(x) = 0:

12(x + 1)^2 = 0

(x + 1)^2 = 0

Это уравнение имеет единственное решение x = -1. Таким образом, точка перегиба находится при x = -1.

Итак, функция f(x) = (x + 1)^4 выпукла для всех значений x, а точка перегиба находится при x = -1.