Question

Для функции f(x)=2 + sin x,найти первообразную F(x) ,график которой проходит через точку М (0;1)

Answer 1

Ответ:

F(x)=2x-cosx+2

Пошаговое объяснение:

f(x)=2+sinx;

F(x)=∫(2+sinx)dx=2∫dx+∫sinxdx=2x+(-cosx)=2x-cosx+C

M(0;1);

1=2*0-cos0+C;

C=1-2*0+cos0;

C=1-0+1=2;

F(x)=2x-cosx+2

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 2 + \sin(x)$, нужно проинтегрировать её по переменной $x$.

Интеграл от константы $2$ по $x$ будет $2x$, так как интегрирование константы дает $\text{константа} \cdot x$.

Интеграл от $\sin(x)$ по $x$ равен $-\cos(x)$, так как интеграл от $\sin(x)$ дает $-\cos(x)$.

Итак, первообразная $F(x)$ для функции $f(x) = 2 + \sin(x)$ будет:

$F(x) = 2x - \cos(x) + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Условие, что график проходит через точку $M(0, 1)$, позволяет нам найти значение постоянной $C$:

$F(0) = 2 \cdot 0 - \cos(0) + C = 0 - 1 + C = -1 + C = 1$

Отсюда $C = 2$, и окончательная первообразная с учетом данного условия:

$F(x) = 2x - \cos(x) + 2$

Таким образом, график первообразной проходит через точку $M(0, 1)$ и имеет уравнение $F(x) = 2x - \cos(x) + 2$.