Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - 2х^2+4x, y=-x+2

Answer 1

Ответ: S = 1.125

Пошаговое объяснение:

Построим графики (на прикреплённой картинке) и найдём их точку пересечения. В данном случае это точки x = 0.5 (1/2) и x = 2

С помощью определённого интеграла вычислим площадь. Решение на прикреплённой картинке 2.

S = 9/8 = 1.125

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем найти определенный интеграл площади между этими точками.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых, то есть найдем значения x, при которых y значения обеих функций равны:

-2x^2 + 4x = -x + 2

Сначала приведем уравнение в стандартную квадратичную форму:

-2x^2 + 4x + x - 2 = 0 -2x^2 + 5x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Можем воспользоваться квадратным дискриминантом:

D = b^2 - 4ac D = 5^2 - 4(-2)(-2) D = 25 - 16 D = 9

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-5 ± √9) / (-4)

x1 = (5 + 3) / 4 = 2 x2 = (5 - 3) / 4 = 0.5

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 2 и x = 0.5.

Теперь мы должны найти значения y для каждой из этих точек, используя уравнения кривых:

Для y = -2x^2 + 4x: y(2) = -2(2)^2 + 4(2) = -8 + 8 = 0 y(0.5) = -2(0.5)^2 + 4(0.5) = -1 + 2 = 1

Для y = -x + 2: y(2) = -(2) + 2 = 0 y(0.5) = -(0.5) + 2 = 1.5

Итак, точки пересечения: (2, 0), и (0.5, 1.5).

Теперь мы можем найти интеграл площади между кривыми в пределах этих точек:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где f(x) = -2x^2 + 4x, g(x) = -x + 2, a = 0.5, b = 2.

S = ∫[0.5, 2] |(-2x^2 + 4x) - (-x + 2)| dx S = ∫[0.5, 2] |(-2x^2 + 4x + x - 2)| dx S = ∫[0.5, 2] |-2x^2 + 5x - 2| dx

Теперь можно вычислить этот интеграл численно, используя методы численного интегрирования, например, метод трапеций или метод Симпсона. Если вам нужен результат численного вычисления, дайте мне знать, и я помогу с этим.