Question

Решите уравнение: 4 cos^2 x – 12 sin x + 3 = 0

Answer 1

4 cos^2 x - 12 sin x +3=0

4(1 - sin^2 x ) - 12 sin x + 3 = 0

4 - 4 sin ^2 - 12 sin x + 3 = 0

7 - 4 sin^2 - 12 sin x = 0

sin x = t

7 - 4 t^2- 12 t = 0

4 t^ 2 -12 t +7= 0

t1= -7/2

t2=1/2

sinx = -7/2. не имеет решений

sinx= 1/2

x = π/6+2kπ, k є z

x = 5π/6 +2kπ, k є z

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала давайте заметим, что в уравнении есть как косинус, так и синус. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить синус через косинус и затем свести уравнение к квадратному уравнению относительно косинуса.

Начнем с выражения синуса через косинус с помощью тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Подставим это выражение в уравнение и упростим:

$4\cos^2 x - 12\sin x + 3 = 0$ $4\cos^2 x - 12\sqrt{1 - \cos^2 x} + 3 = 0$

Теперь заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$4(1 - \sin^2 x) - 12\sqrt{1 - (1 - \sin^2 x)} + 3 = 0$ $4 - 4\sin^2 x - 12\sqrt{\sin^2 x} + 3 = 0$ $7 - 4\sin^2 x - 12|\sin x| = 0$

Теперь мы можем рассмотреть два случая: $0 \leq \sin x \leq 1$ и $-1 \leq \sin x < 0$.

Случай 1: $0 \leq \sin x \leq 1$

В этом случае модуль $\sin x$ не влияет на уравнение, и мы можем продолжить упрощение:

$7 - 4\sin^2 x - 12\sin x = 0$

Поделим обе стороны на -1:

$-7 + 4\sin^2 x + 12\sin x = 0$

Умножим обе стороны на -1:

$7 - 4\sin^2 x - 12\sin x = 0$

Теперь это уже квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$4\sin^2 x + 12\sin x - 7 = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или другие методы решения квадратных уравнений.

Случай 2: $-1 \leq \sin x < 0$

В этом случае модуль $\sin x$ становится отрицательным, и уравнение примет вид:

$7 - 4\sin^2 x + 12\sin x = 0$

Также это можно упростить до квадратного уравнения:

$4\sin^2 x - 12\sin x - 7 = 0$

Оба случая сводятся к решению квадратного уравнения. Выберите соответствующий случай и решите квадратное уравнение, чтобы найти значения $\sin x$, затем найдите значения $\cos x$ и, наконец, $x$ (используя обратные тригонометрические функции).