Question

В правильной четырёхугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 240 см в квадрате , а площадь полной поверхности – 384 см в квадрате. Найдите сторону основания а и высоту h пирамиды

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Определим площадь основания пирамиды как разность общей площади и боковой площади.

Sосн = Sпов – Sбок = 384 – 240 = 144 см2.

Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то длина его основания равна: АД = √144 = 12 см.

Все боковые грани пирамиды равны, тогда Sгр = Sбок / 4 = 240 / 4 = 60 см2.

Определим длину апофемы КН. Sгр = СД * КН / 2 = 60.

КН = 2 * 60 / 12 = 10 см.

Отрезок ОН = АД / 2 = 12 / 2 = 6 см, как средняя линия треугольника АСД.

В прямоугольном треугольнике КОН, КО2 = КН2 – ОН2 = 100 – 36 = 64.

КО = 8 см.

Ответ: Высота пирамиды равна 8 см, сторона основания 12 см.

Answer 2

Пусть $a$ обозначает длину стороны основания пирамиды, а $h$ обозначает её высоту.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно выразить через боковые треугольники. В правильной четырёхугольной пирамиде у неё четыре равных боковых треугольника. Площадь одного такого треугольника можно выразить как $S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Так как в пирамиде 4 таких треугольника, то общая площадь боковой поверхности будет $S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2ah$.

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания в случае правильной четырёхугольной пирамиды — это квадрат со стороной $a$, так что $S_{\text{осн}} = a^2$. Поэтому площадь полной поверхности равна $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 2ah + a^2$.

У нас есть два условия:

1. $S_{\text{бок}} = 240$ (площадь боковой поверхности).
2. $S_{\text{полн}} = 384$ (площадь полной поверхности).

Подставляя значения площадей и выражения для них, получаем систему уравнений:

$$\begin{align*} 2ah &= 240 \\ 2ah + a^2 &= 384 \end{align*}$$

Из первого уравнения можно выразить $h$ через $a$: $h = \frac{240}{2a} = \frac{120}{a}$.

Подставляя это значение $h$ во второе уравнение:

$$\frac{120}{a} \cdot a + a^2 = 384$$

$120 + a^2 = 384$

$a^2 = 264$

$a = \sqrt{264} \approx 16.248$

Теперь найдём высоту $h$:

$h = \frac{120}{a} = \frac{120}{\sqrt{264}} \approx 7.36$

Итак, сторона основания $a$ приближенно равна 16.248 см, а высота $h$ приближенно равна 7.36 см.