Question

Доведіть, що значення виразу є цілим числом. √(11-2√28 ) - √(11 +2√28).

Answer 1

Заметим, что  

$11-2\sqrt{28}=2^2-2\cdot2\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2=(2-\sqrt7)^2$

Аналогично $11+2\sqrt{28}=(2-\sqrt7)^2$.

Воспользовавшись свойством $\sqrt{x^2}=|x|$, упростим выражение:

$\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{(2-\sqrt7)^2}-\sqrt{(2+\sqrt7)^2}=|2-\sqrt7|-|2+\sqrt7|=-(2-\sqrt7)-(2+\sqrt7)=-2+\sqrt7-2-\sqrt7=-4$

Значение выражения равно целому числу $-4$, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте спробуємо розглянути це вираз крок за кроком:

Почнемо з виразу √(11 - 2√28).

Ми можемо спростити цей вираз, розкривши корінь: √(11 - 2√28) = √(11 - 2√(4 * 7)) = √(11 - 2√4√7) = √(11 - 2 * 2√7) = √(11 - 4√7).

Тепер розглянемо вираз √(11 + 2√28).

Аналогічно: √(11 + 2√28) = √(11 + 2√(4 * 7)) = √(11 + 2√4√7) = √(11 + 2 * 2√7) = √(11 + 4√7).

Тепер ми маємо вирази √(11 - 4√7) та √(11 + 4√7).

Подивимось на різницю цих двох виразів: √(11 - 4√7) - √(11 + 4√7).

Якщо ми віднімемо одне вираз від іншого, отримаємо: (√(11 - 4√7) - √(11 + 4√7)) = -2√(4√7) = -4√7.

Таким чином, отримали цілий вираз -4√7, що доводить, що він є цілим числом.