Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y'=y/x - 2

Answer 1

Ответ:

$y'=\dfrac{y}{x}-2\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=u-2\ \ ,\ \ \ u'x=-2\ \ ,\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot x=-2\ \ ,\ \ \int du=-2\int \dfrac{dx}{x} \ \ ,\\\\u=-2\cdot ln|x|+C\\\\\dfrac{y}{x}=-2\cdot ln|x|+C\\\\y=x\cdot (ln|x|^2+C)\\\\\underline {\ y=x\cdot (lnx^2+C)\ }$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода вариации постоянной. Сначала решим соответствующее однородное уравнение y' = y/x:

y' = y/x.

Разделим обе стороны на y и x:

y'/y = 1/x.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(y'/y) dy = ∫(1/x) dx.

ln|y| = ln|x| + C₁, где C₁ - произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение исходного неоднородного уравнения y' = y/x - 2:

ln|y| = ln|x| + C₁.

Возводим обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(ln|x| + C₁).

Так как |y| - это абсолютное значение y, то можно разделить это на два случая:

1. y > 0: y = e^(ln|x| + C₁) = e^(ln|x|) * e^(C₁) = x * e^(C₁) = C₂ * x, где C₂ = e^(C₁) - новая постоянная.

2. y < 0: y = -x * e^(C₁) = -C₂ * x.

Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения:

y(x) = C₂ * x, если y > 0, y(x) = -C₂ * x, если y < 0.

Здесь C₂ - произвольная постоянная.