Question

235. Центр круга (-1; 2), а радиус √10:а) построить уравнение круга.б) понять, находятся ли точки A(-3, 5), B (-2, -1) и C (2, 2) на окружности, внутри окружности или за ее пределами?​

Answer 1

а) Уравнение окружности с центром в точке $(x_{0}; \ y_{0})$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}$

Имеем: центр окружности в точке $(-1; \ 2)$ и радиус $R = \sqrt{10}$

Уравнение окружности: $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10$

б) Имеем точки $A(-3; \ 5), \ B (-2; -1), \ C (2; \ 2)$

Точка с координатами $(x; \ y)$ находится на окружности, если $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10$, внутри окружности — $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < R^{2}$, за пределами окружности — $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} > R^{2}$

Проверка:

$A (-3; \ 5): \ (-3 + 1)^{2} + (5 - 2)^{2} = (-2)^{2} + 3^{2} = 4 + 9 > 10$ — точка $A$ находится за пределами окружности.

$B (-2; \ -1): \ (-2 + 1)^{2} + (-1 - 2)^{2} = (-1)^{2} + (-3)^{2} = 1 + 9 = 10$ — точка $B$ находится на окружности.

$C (2; \ 2): \ (2 + 1)^{2} + (2 - 2)^{2} = 3^{2} + 0^{2} = 9 + 0 < 10$ — точка $C$ находится внутри окружности.

Answer 2

а) Уравнение круга с центром в точке (-1, 2) и радиусом √10 можно записать в следующем виде:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$,

где $(x_0, y_0)$ - координаты центра круга, $r$ - радиус.

Подставляя значения: $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $r = \sqrt{10}$, получаем:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$.

б) Теперь можно проверить, находятся ли точки A(-3, 5), B(-2, -1) и C(2, 2) на окружности, внутри нее или за ее пределами, подставив их координаты в уравнение круга:

1. Точка A(-3, 5): $(-3 + 1)^2 + (5 - 2)^2 = 10 + 9 = 19$. Так как $19 > 10$, точка A находится за пределами окружности.

2. Точка B(-2, -1): $(-2 + 1)^2 + (-1 - 2)^2 = 1 + 9 = 10$. Так как $10 = 10$, точка B лежит на окружности.

3. Точка C(2, 2): $(2 + 1)^2 + (2 - 2)^2 = 9 + 0 = 9$. Так как $9 < 10$, точка C находится внутри окружности.

Итак, точка B лежит на окружности, точка C внутри окружности, а точка A за ее пределами.