Question

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см і утворює кут 30 градусів з площиною бічної грані та кут 45 градусів з бічним ребром. знайти об'єм паралелепіпеда.​

Answer 1

30:12=2.5 с каждой сторони

Answer 2

Давайте позначимо сторони прямокутного паралелепіпеда так:

• Довжина: $a$
• Ширина: $b$
• Висота: $c$

Ми знаємо, що діагональ паралелепіпеда дорівнює 12 см і утворює кут 30 градусів з площиною бічної грані. З цього можна вивести, що дві діагоналі площини бічної грані утворюють кут 60 градусів, тому кожна з них дорівнює половині діагоналі паралелепіпеда, тобто $\frac{12}{2} = 6$ см.

Також, ми знаємо, що діагональ добре видної бічної грані паралелепіпеда утворює кут 45 градусів з бічним ребром. З цього ми можемо вивести, що відношення сторін бічної грані $a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$.

Ми можемо вирішити цю систему рівнянь для $a$, $b$ і $c$:

1. $a^2 + b^2 = 6^2$ (за теоремою Піфагора для площини бічної грані)
2. $a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$

Підставимо $a = b$ з другого рівняння у перше:

$(a)^2 + (a)^2 = 6^2$ $2a^2 = 36$ $a^2 = 18$ $a = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Отже, довжина і ширина паралелепіпеда дорівнюють $a = 3 \sqrt{2}$ см, а висота $c = \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Об'єм паралелепіпеда $V = a \cdot b \cdot c = (3 \sqrt{2}) \cdot (3 \sqrt{2}) \cdot 6 = 54 \cdot 6 = 324$ кубічних сантиметри.