Question

СРОЧНО!Пожалуйста!!! дам очень много баллов. Исследуйте функцию y= x3 – 6x2 на монотонность

Answer 1

Ответ:

Y' = (x³-6x²+9x)'=3x²-12x+9

y'=0;

3(x²-4x+3)=0

x²-4x+3=0

(x-2)²-1=0

x-2=±1

x1=3

x2=1

Функция возрастает на промежутке (-оо;1)U(3;+oo)

Функция убывает на промежутке (1;3)

(Вроде верно, если нет извините)

Answer 2

Функция $y = x^3 - 6x^2$ представляет собой кубическую функцию с коэффициентами $a = 1$, $b = -6$, $c = 0$ и $d = 0$. Давайте проанализируем её монотонность.

Для исследования монотонности функции, нам нужно вычислить её производную и проанализировать знак этой производной на различных интервалах.

Первая производная функции $y = x^3 - 6x^2$ равна:

$y' = 3x^2 - 12x.$

Чтобы найти критические точки, где производная равна нулю, решим уравнение:

$3x^2 - 12x = 0.$

Факторизуем это уравнение:

$3x(x - 4) = 0.$

Из этого уравнения видно, что $x = 0$ и $x = 4$ - это критические точки.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной на различных интервалах:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, 0) & (0, 4) & (4, \infty) \\ \hline y' & \text{Отр.} & \text{Пол.} & \text{Пол.} \\ \hline \end{array}$$

Где "Отр." означает отрицательное значение, а "Пол." - положительное значение производной.

Из этой таблицы знаков можно сделать следующие выводы:

1. На интервале $(-\infty, 0)$ производная $y'$ отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

2. На интервале $(0, 4)$ производная $y'$ положительна, следовательно, функция возрастает.

3. На интервале $(4, \infty)$ производная $y'$ также положительна, значит, функция продолжает возрастать.

Итак, функция $y = x^3 - 6x^2$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервалах $(0, 4)$ и $(4, \infty)$.