Question

Исследовать функцию и построить ее график f(x)= -x^3+3x^2+2

Answer 1

Исследование функции f(x)= -x^3+3x^2+2, её  график и таблица точек для построения приведены во вложении.

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию и построить её график. Давайте начнем с анализа основных характеристик функции f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел x.

2. Производная: Найдем производную функции f(x):

   f'(x) = d/dx (-x^3 + 3x^2 + 2) = -3x^2 + 6x

3. Экстремумы и точки перегиба: Чтобы найти экстремумы, решим уравнение f'(x) = 0:

   -3x^2 + 6x = 0 3x(x - 2) = 0

   Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 2.

   Чтобы определить характер экстремумов, проанализируем знаки производной в интервалах между и за пределами корней:

   • При x < 0: f'(x) < 0, следовательно, функция убывает.
   • При 0 < x < 2: f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает.
   • При x > 2: f'(x) < 0, следовательно, функция убывает.

   Следовательно, у нас есть минимум в точке (2, f(2)).

4. Вторая производная и выпуклость: Найдем вторую производную функции f(x):

   f''(x) = d^2/dx^2 (-3x^2 + 6x) = -6x + 6

   • При x < 1: f''(x) < 0, следовательно, функция вогнута вниз.
   • При x > 1: f''(x) > 0, следовательно, функция выпукла вверх.

5. Поведение на бесконечности: При x -> -бесконечность, функция также стремится к отрицательной бесконечности, так как старший член -x^3 доминирует.

6. Значение в начале координат: f(0) = -0^3 + 3*0^2 + 2 = 2.

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет минимум в точке (2, 2), а также проходит через начало координат. Она также изменяет свою выпуклость вблизи точки x = 1.