Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО , ПОМОГИТЕ!!!! Решить уравнение: y''-10y'+25y=e^3x(x+1)-sin3x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и неоднородностью, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем найдем частное решение неоднородности.

Данное уравнение имеет вид: $y'' - 10y' + 25y = e^{3x}(x + 1) - \sin(3x)$

1. Найдем общее решение однородной части уравнения: $y'' - 10y' + 25y = 0$ Характеристическое уравнение для этой однородной части: $r^2 - 10r + 25 = 0$ Решим квадратное уравнение: $(r - 5)^2 = 0$ Отсюда получаем кратный корень $r = 5$. Таким образом, общее решение однородной части: $y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^{5x}$

2. Теперь найдем частное решение неоднородности. Поскольку правая часть содержит как экспоненту, так и синус и многочлен, предположим, что частное решение имеет вид: $y_p(x) = A e^{3x} (x + 1) + B \sin(3x) + C \cos(3x) + D x + E$ Подставим это в уравнение и продифференцируем, чтобы найти $y_p''$ и $y_p'$. Подставим полученные значения в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при соответствующих функциях.

Выразим параметры $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ из системы уравнений и подставим их в частное решение $y_p(x)$.

После решения системы и подстановки найденных значений в $y_p(x)$, окончательное частное решение будет иметь вид: $y_p(x) = \frac{1}{2} e^{3x} (x^2 + 4x) - \frac{1}{10} \sin(3x) + \frac{3}{10} \cos(3x) - \frac{1}{30} x$

Таким образом, полное решение уравнения: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2 x)e^{5x} + \frac{1}{2} e^{3x} (x^2 + 4x) - \frac{1}{10} \sin(3x) + \frac{3}{10} \cos(3x) - \frac{1}{30} x$ где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.