Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y = x, y = 1/x, y = 0, x = 2

Answer 1

Ответ 1,5-ln2

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно разбить эту фигуру на части и вычислить площадь каждой части.

Фигура ограничена линиями y = x, y = 1/x, y = 0 и x = 2.

Сначала найдем точки пересечения этих линий:

1. Точка пересечения линий y = x и y = 1/x: Решаем уравнение x = 1/x: x^2 = 1 x = ±1 Так как x не может быть отрицательным (иначе оно нарушило бы условие x = 2), то x = 1.

2. Точка пересечения линий y = 1/x и x = 2: Подставляем x = 2 в уравнение y = 1/x: y = 1/2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (1, 1) и (2, 1/2). Эти точки делят фигуру на две части: треугольник и область между графиками y = x и y = 1/x.

1. Площадь треугольника: Основание треугольника = 2 - 1 = 1 Высота треугольника = 1/2 Площадь треугольника = (1/2) * (1) * (1/2) = 1/4

2. Площадь области между графиками y = x и y = 1/x: Эта площадь можно вычислить как разность площади под графиком y = x и площади под графиком y = 1/x на интервале [1, 2]: Площадь под графиком y = x на интервале [1, 2] = ∫(1 to 2) x dx = [x^2/2] (от 1 до 2) = 2 - 1/2 = 3/2 Площадь под графиком y = 1/x на интервале [1, 2] = ∫(1 to 2) (1/x) dx = [ln|x|] (от 1 до 2) = ln(2) - ln(1) = ln(2)

   Таким образом, площадь области между графиками y = x и y = 1/x = (3/2) - ln(2)

Итоговая площадь фигуры ограниченной линиями y = x, y = 1/x, y = 0 и x = 2: Площадь = Площадь треугольника + Площадь области между графиками y = x и y = 1/x Площадь = (1/4) + (3/2 - ln(2)) = 1/4 + 3/2 - ln(2) ≈ 1.386