Question

. Вычислите 2sin6x – cos6x, если tg3x = –2.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Мы знаем, что tg(3x) = -2. Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sin(6x) и cos(6x) через tg(3x) и другие тригонометрические функции.

Используем формулу тангенса суммы для tg(3x):

tg(3x) = tg(2x + x) = (tg(2x) + tg(x)) / (1 - tg(2x) * tg(x))

Поскольку tg(3x) = -2, подставляем это значение:

-2 = (tg(2x) + tg(x)) / (1 - tg(2x) * tg(x))

Далее, воспользуемся формулами для tg(2x) и tg(x):

tg(2x) = 2 * tg(x) / (1 - tg^2(x))

Подставим это значение в уравнение:

-2 = (2 * tg(x) / (1 - tg^2(x)) + tg(x)) / (1 - (2 * tg(x) / (1 - tg^2(x))) * tg(x))

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной tg(x). Давайте решим это уравнение:

Умножим обе стороны на (1 - tg^2(x)):

-2 * (1 - tg^2(x)) = 2 * tg(x) + tg(x) * (2 * tg(x))

-2 + 2tg^2(x) = 2tg(x) + 2tg^2(x)

4tg^2(x) - 2tg(x) - 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно tg(x). Решим его с помощью квадратного корня:

tg(x) = [2 ± sqrt(2^2 - 4 * 4 * (-2))] / (2 * 4) tg(x) = [2 ± sqrt(4 + 32)] / 8 tg(x) = [2 ± sqrt(36)] / 8 tg(x) = (2 ± 6) / 8

Получаем два возможных значения для tg(x):

1. tg(x) = 8/8 = 1
2. tg(x) = -4/8 = -0.5

Теперь, когда у нас есть значения для tg(x), мы можем использовать их, чтобы вычислить sin(6x) и cos(6x):

1. Для tg(x) = 1:

tg(2x) = 2 * tg(x) / (1 - tg^2(x)) = 2 * 1 / (1 - 1) = 2 / 0 (неопределенность)

2. Для tg(x) = -0.5:

tg(2x) = 2 * (-0.5) / (1 - (-0.5)^2) = -1 / (1 - 0.25) = -4/3

Теперь мы можем использовать связи между тригонометрическими функциями:

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Для первого случая (tg(x) = -0.5), где tg(2x) = -4/3:

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x) -4/3 = 2 * sin(x) * cos(x)

Теперь используем тригонометрическую формулу:

2 * sin(x) * cos(x) = sin(2x) sin(x) = sin(2x) / (2 * cos(x))

cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))

Далее, мы можем выразить sin(6x) и cos(6x) через sin(x) и cos(x):

sin(6x) = 3 * sin(2x) - 4 * sin^3(x) cos(6x) = 4 * cos^3(x) - 3 * cos(2x)

Используем полученные значения sin(x) и cos(x) и подставим их в формулы, чтобы найти sin(6x) и cos(6x). Затем, используя выражение 2sin(6x) - cos(6x), мы найдем окончательный результат.

Обратите внимание, что решение получается сложным из-за неопределенности tg(2x) в случае tg(x) = 1. Возможно, в задаче есть ошибка или допущение, которое позволит уточнить решение.