Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-4x-x^2+5 и y=5

Answer 1

Ответ:

$S = 30\dfrac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

y₁ = 4x - x² + 5

y₂ = 5

Найдём точки пересечения этих линий

4х - х² + 5 = 5

4х - х² = 0

х(4 - х) = 0

пределы интегрирования

х₁ = 0

х₂ = 4

$S = \int\limits^4_0 ({4x-x^2 + 5)} \, dx = \Big (2x^2 - \dfrac{x^3}{3} +5x\Big)\Bigg|_0^4 =\\ \\ =2\cdot4^2 - \dfrac{4^3}{3} +5\cdot 4\ = 32 - \dfrac{64}{3}+20 = 30\dfrac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения, а затем интегрировать разность между ними. В данном случае, фигура ограничена линией y = 5 и параболой y = -4x - x^2 + 5.

Для начала найдем точки пересечения этих двух функций, то есть значения x, при которых y из обеих функций равны между собой:

-4x - x^2 + 5 = 5

Упростим уравнение:

-4x - x^2 = 0

x(-4 - x) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = -4.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена значениями x = -4 и x = 0. Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно взять интеграл разности этих функций в пределах от x = -4 до x = 0:

Площадь = ∫[x=-4 to x=0] [(5) - (-4x - x^2 + 5)] dx

Упростим подынтегральное выражение:

Площадь = ∫[x=-4 to x=0] (4x + x^2) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [2x^2 + (1/3)x^3] [x=-4 to x=0]

Площадь = [(20^2 + (1/3)0^3) - (2(-4)^2 + (1/3)(-4)^3)]

Площадь = [0 - (32 - (64/3))]

Площадь = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -4x - x^2 + 5 и y = 5, равна 32/3 (около 10.67).