Question

Знайти повний диференціал функції кількох змінних: z = sin^2(x+2y)

Answer 1

$\displaystyle\\dz=z'_xdx+z'_ydy\\\\z=\sin^2(x+2y)\\\\z'_x=2\sin(x+2y)*\cos(x+2y)=\sin(2x+4y)\\\\z'_y=2\sin(x+2y)*2\cos(x+2y)=2\sin(2x+4y)\\\\\\dz=\sin(2x+4y)dx+2\sin(2x+4y)dy$

Answer 2

Повний диференціал функції залежить від усіх її незалежних змінних. Для функції $z = \sin^2(x+2y)$ ми маємо дві незалежні змінні: $x$ і $y$.

Повний диференціал $dz$ цієї функції можна знайти за допомогою наступної формули:

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

Давайте спершу знайдемо часткові похідні функції $z$ за $x$ та $y$:

$z = \sin^2(x+2y)$

За ланцюговим правилом похідної, маємо:

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2\sin(x+2y) \cdot \cos(x+2y) = 2\sin(2y+x)\cos(2y+x)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2\sin(x+2y) \cdot 2 = 4\sin(x+2y)$

Тепер, підставляючи ці часткові похідні до формули повного диференціалу:

$dz = 2\sin(2y+x)\cos(2y+x) dx + 4\sin(x+2y) dy$

Це і є повний диференціал функції $z = \sin^2(x+2y)$ відносно змінних $x$ та $y$.