Question

Решите найти экстремумы функции y=x^3-3x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

необходимое условие существования точек экстремума в точке х₀ у'(x₀)=0

ищем точки.

y' = (x³-3x²)' = (x³)' - 3(x²)' = 3x² -6x

3x² -6x= 0; 3x(x-2) = 0  ⇒  x₁ = 0, x₂ = 2 - это и есть точки экстремума.

теперь посмотрим, "кто есть кто"

если f''(x₀) > 0  то точка x₀ точка минимума функции.

если f''(x₀) < 0  то точка x₀ точка максимума функции.

y'' = 6x-6

y''(0) = -6 < 0 -  точка x = 0 точка максимума функции.

y''(2) = 6 > 0 -  точка x = 2 точка минимума функции.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^3 - 3x^2$, первым шагом необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Эти точки могут быть местами экстремумов (максимумов или минимумов) или точками перегиба.

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 3x^2$: $y' = 3x^2 - 6x$

2. Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, где она равна нулю: $3x^2 - 6x = 0$

Для решения этого уравнения можно вынести общий множитель $3x$: $3x(x - 2) = 0$

Из этого уравнения видно, что $x = 0$ или $x = 2$.

3. Теперь нам нужно определить характер экстремумов в этих точках. Для этого можно проанализировать знак производной в окрестности каждой из найденных точек.

• В точке $x = 0$: Подставим $x = 0$ в производную: $y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$

Знак производной меняется с плюса на минус, что означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

• В точке $x = 2$: Подставим $x = 2$ в производную: $y'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 0$

Знак производной меняется с минуса на плюс, что означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

Итак, функция $y = x^3 - 3x^2$ имеет локальный максимум в точке $x = 0$ и локальный минимум в точке $x = 2$.