Question

(2*sqrt(xy)-x)dy+ydx=0 помогите решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

по фото

Пошаговое объяснение:

РЕШЕНО МУДРОСТЬ

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение в полных дифференциалах. Давайте попробуем решить его.

Уравнение: $(2\sqrt{xy}-x)dy+ydx=0$

Для решения будем искать такую функцию $f(x, y)$, для которой выполняется условие: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{xy} - x$ и $\frac{\partial f}{\partial y} = y$

Для первого уравнения найдем частную производную $f$ по $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \int (2\sqrt{xy}-x)dy + g(x) \right)$ где $g(x)$ – это произвольная постоянная функция от $x$, так как производная по $x$ от некоторой функции, зависящей только от $y$, равна нулю.

Интегрируя $2\sqrt{xy}-x$ по $y$, получаем: $2\int \sqrt{xy}dy - \int x dy + g(x) = 2\int \sqrt{xy}dy - xy + g(x) = f(x, y)$

Сравнивая это с $\frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{xy} - x$, мы видим, что $g(x)$ должна быть равна константе, чтобы условие выполнялось.

Теперь для второго уравнения найдем частную производную $f$ по $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\int \sqrt{xy}dy - xy + g(x) \right) = 2\sqrt{xy} + g'(x)$

Сравнивая это с $\frac{\partial f}{\partial y} = y$, мы видим, что $g'(x)$ должна быть равна $0$, так как производная по $x$ от функции, зависящей только от $x$, равна нулю.

Таким образом, решение уравнения: $f(x, y) = 2\int \sqrt{xy}dy - xy + C$ где $C$ – произвольная постоянная.

По сути, это общее решение данного дифференциального уравнения.