Question

В разложении бинома (a+1/a)^4 найдите член в котором нет "а"

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$(a+\frac{1}{a})^4=C_4^0*a^4*(\frac{1}{a} )^0+C_4^1*a^3*(\frac{1}{a})^1+C_4^2*a^2*(\frac{1}{a} )^2+C_4^3*a^1*(\frac{1}{a})^3+C_4^4*a^0*(\frac{1}{a})^4=\\=a^4+4a^2+6+\frac{4}{a^2} +\frac{1}{a^4} .$

Ответ: а₃=6.

Answer 2

Разложим бином (a + 1/a)^4 с помощью биномиальной формулы. В общем виде биномиальная формула выглядит следующим образом:

(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + C(n, 2)a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1)a^1 * b^(n-1) + C(n, n)a^0 * b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

В нашем случае n = 4 и b = 1/a, поэтому мы получаем:

(a + 1/a)^4 = C(4, 0)a^4 * (1/a)^0 + C(4, 1)a^3 * (1/a)^1 + C(4, 2)a^2 * (1/a)^2 + C(4, 3)a^1 * (1/a)^3 + C(4, 4)a^0 * (1/a)^4.

Упростим это выражение:

(a + 1/a)^4 = C(4, 0)a^4 + C(4, 1)a^3 * (1/a) + C(4, 2)a^2 * (1/a)^2 + C(4, 3)a^1 * (1/a)^3 + C(4, 4)(1/a)^4.

Теперь найдем член, в котором нет "а". Чтобы отсутствовало "а", необходимо, чтобы показатель степени "a" был равен 0. Это означает, что нам нужно рассмотреть только первое слагаемое в выражении, где C(4, 0)a^4 = 1 * a^4 = a^4.

Таким образом, член в разложении бинома (a + 1/a)^4, в котором нет "а", это a^4.