Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 − x^2 и y = 0, предварительно сделав рисунок.

Answer 1

Решение на фото.Удачи Вам!

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 - x^2 и y = 0, мы должны вычислить площадь между этими двумя кривыми на заданном интервале x.

Давайте сначала построим графики обеих функций, чтобы лучше понять, как выглядит эта фигура:

График y = 8 - x^2 - это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 8). Она пересекает ось x в точках (-√8, 0) и (√8, 0).

График y = 0 - это прямая, горизонтально проходящая через ось x на уровне y = 0.

Фигура, ограниченная этими двумя линиями, представляет собой область под параболой y = 8 - x^2 и над осью x.

Теперь нам нужно найти точки пересечения параболы и оси x:

Парабола y = 8 - x^2 пересекает ось x, когда y = 0: 0 = 8 - x^2 x^2 = 8 x = ±√8

Таким образом, наш интервал интегрирования для вычисления площади будет от -√8 до √8.

Площадь между кривыми можно вычислить интегралом: $S = \int_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}} (8 - x^2) \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ 8x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{8}}^{\sqrt{8}}$ $S = \left( 8\sqrt{8} - \frac{(\sqrt{8})^3}{3} \right) - \left( 8(-\sqrt{8}) - \frac{(-\sqrt{8})^3}{3} \right)$ $S = 8\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} - 8\sqrt{8} + \frac{8\sqrt{8}}{3}$ $S = 16\sqrt{8} - \frac{16\sqrt{8}}{3}$ $S = \frac{32\sqrt{8}}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 - x^2 и y = 0, равна $\frac{32\sqrt{8}}{3}$ или приблизительно 60.63 единицы площади.