Question

Очень срочно!!!!!!!!!!!!!!! ХОТЯ БЫ НЕКОТОРЫЕ ЗАДАНИЯ 1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции: у=(х-2)^2/х^2 2.Найдите промежутки возрастания и убывания функции: у=1/3х^3+2х^2-1/3 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно сделав рисунок) y=x^3, y=0, x=-1, x=2

Answer 1

Решение на прикреплённых изображениях.

Answer 2

Конечно, я помогу вам с решением заданий. Давайте по очереди рассмотрим каждое задание.

Задание 1: Функция: у = (х - 2)^2 / х^2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно найти её производную и проанализировать её знаки.

1. Найдем производную функции: у' = [(х - 2)^2]' / х^2 = [х^2 - 4х + 4]' / х^2 = (2х - 4) / х^2

2. Решим уравнение у' = 0 для нахождения критических точек: (2х - 4) / х^2 = 0 2х - 4 = 0 2х = 4 х = 2

Теперь мы знаем, что у нас есть критическая точка при х = 2.

3. Анализируем знаки производной в промежутках между и за пределами критических точек:

   • При х < 2: Подставим х = 1 (любое значение меньше 2) в у': у' = (2х - 4) / х^2 = (2 - 4) / 1 = -2 Так как производная отрицательна, функция убывает на этом промежутке.

   • При х > 2: Подставим х = 3 (любое значение больше 2) в у': у' = (2х - 4) / х^2 = (6 - 4) / 9 = 2/9 Так как производная положительна, функция возрастает на этом промежутке.

Итак, промежуток возрастания функции - это x > 2, а промежуток убывания - это x < 2.

Задание 2: Функция: у = 1/3х^3 + 2х^2 - 1/3

Анализируем аналогично, находим производную, критические точки и знаки производной в интервалах.

1. Найдем производную функции: у' = (1/3 * 3х^2) + (2 * 2х) = х^2 + 4х

2. Решим уравнение у' = 0 для нахождения критических точек: х^2 + 4х = 0 х(х + 4) = 0 х = 0 или х = -4

Теперь мы знаем, что у нас есть критические точки при х = 0 и х = -4.

3. Анализируем знаки производной:

   • При х < -4: Подставим х = -5 (любое значение меньше -4) в у': у' = (-5)^2 + 4 * (-5) = 25 - 20 = 5 Производная положительна, функция возрастает на этом промежутке.

   • При -4 < х < 0: Подставим х = -2 (любое значение между -4 и 0) в у': у' = (-2)^2 + 4 * (-2) = 4 - 8 = -4 Производная отрицательна, функция убывает на этом промежутке.

   • При х > 0: Подставим х = 1 (любое значение больше 0) в у': у' = 1^2 + 4 * 1 = 1 + 4 = 5 Производная положительна, функция возрастает на этом промежутке.

Итак, промежутки возрастания функции - это x < -4 и 0 < x, а промежуток убывания - это -4 < x < 0.

Задание 3: Фигура ограничена линиями y = x^3, y = 0, x = -1 и x = 2.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти площадь между кривой y = x^3 и осью x на интервале [-1, 2], а затем вычесть площадь треугольника, образованного осями x и y = 0.

Площадь под кривой y = x^3 на интервале [-1, 2]: ∫[a, b] x^3 dx = [x^4 / 4]_a^b = (2^4 / 4) - ((-1)^4 / 4) = 4 - 1/4 = 15/4.

Площадь треугольника: Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (2 - (-1)) * 0 = 0.

Итак, площадь фигуры ограниченной графиками y = x^3, y = 0, x = -1 и x = 2 равна 15/4 единицам квадратным.