Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: xy = 9 , x+ y- 10=0 .

Answer 1

Ответ:

40-9ln9 или примерно 20,22

Пошаговое объяснение:

Выразим через y

$y=\frac{9}{x} \\y=10-x$

Найдем точки пересечения

$\frac{9}{x} =10-x\\9=10x-x^{2}\\x^{2}-10x+9=0\\(x-9)(x-1)=0\\x_{1}=1,x_{2}=9$

Найдем первообразные

$F(x)=9*ln|x|\\F(x)=10x-\frac{x^{2}}{2}$

Найдем площадь

$S=\int\limits^9_1 {(10-x-\frac{9}{x} )} \, dx=(10*9-\frac{9^{2}}{2} -9*ln|9| )-(10*1-\frac{1^{2}}{2}-9*ln|1| )=90-\frac{81}{2} -9ln9-10+\frac{1}{2} +9ln1=80-\frac{80}{2} -9(ln9-ln1)=80-40-9ln\frac{9}{1} =40-9ln9$

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями xy = 9 та x + y - 10 = 0, ми можемо спочатку знайти точки їх перетину та потім обчислити площу фігури, утвореної цими лініями.

1. Знайдемо точки перетину: Спершу розв'яжемо систему рівнянь:

• xy = 9
• x + y - 10 = 0

Можна виділити y в другому рівнянні: y = 10 - x

Підставимо це значення y в перше рівняння: x(10 - x) = 9 10x - x^2 = 9 x^2 - 10x + 9 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння: (x - 9)(x - 1) = 0 x = 9 або x = 1

Підставимо знайдені значення x у рівняння для y: Для x = 9: y = 10 - 9 = 1 Для x = 1: y = 10 - 1 = 9

Таким чином, отримали дві точки перетину: (9, 1) та (1, 9).

2. Обчислимо площу фігури: Фігура обмежена лініями xy = 9 та x + y - 10 = 0 може бути утворена двома способами: або область буде знаходитися між лініями на перетині, або знаходитися поза цими лініями. Оскільки не вказано, яка саме частина фігури потрібна, ми розглянемо обидві варіанти.

   2.1. Площа області між лініями: Ця площа може бути знайдена як інтеграл від y до y = 1 (верхня межа) до y = 9 (нижня межа) для функції x = 10 - y, яка представляє верхню лінію:

   S1 = ∫[1 to 9] (10 - y) dy = [10y - 0.5y^2] from 1 to 9 = (109 - 0.59^2) - (101 - 0.51^2) = 90 - 40.5 - 10 + 0.5 = 40

   2.2. Площа області поза лініями: Оскільки xy = 9 описує гіперболу, ця область буде обмежена цією гіперболою, лінією x = 1 та лінією y = 9.

   S2 = Площа прямокутника 1x8 (так як x рухається від 1 до 9 і обмежується гіперболою) = 1 * 8 = 8

   Загальна площа фігури буде рівна S1 + S2 = 40 + 8 = 48 квадратних одиниц.

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями xy = 9 та x + y - 10 = 0, дорівнює 48 квадратним одиницям.