Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=8+2x-x^(2).

Answer 1

Если речь о параболе и x=0, то 
$\int\limits^4_{-2} {(8+2x-x^2)} \, dx=\\ =8x+x^2- \frac{x^3}{3} \bigg |^4_{-2}= 8*4+4^2- \frac{4^3}{3}-(8*(-2)+(-2)^2- \frac{(-2)^3}{3})=\\ =48- \frac{64}{3}+12- \frac{8}{3}=60- 24=36$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = 8 - 2x - x^2, перш за все, потрібно знайти точки перетину цієї кривої з віссю Ox. Це можна зробити, встановивши рівняння y = 0 і знаходячи відповідне значення x.

Знаходження точок перетину з віссю Ox

Підставимо y = 0 у рівняння y = 8 - 2x - x^2:

0 = 8 - 2x - x^2

Розкладемо це квадратне рівняння на множники або використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів. У цьому випадку отримаємо два значення x - це будуть точки перетину з віссю Ox.

Знаходження площі фігури

Отримавши точки перетину з віссю Ox, ми можемо обчислити площу фігури.

Використання інтегралу для обчислення площі

Щоб обчислити площу фігури, можна використати інтеграл. У даному випадку, оскільки лінія y = 8 - 2x - x^2 відображає параболу, ми можемо використати інтеграл для обчислення площі під цією параболою.

Загальна формула обчислення площі за допомогою інтегралу

Площу під кривою можна обчислити за допомогою такого інтегралу:

S = ∫[a, b] f(x) dx

де:

- S - площа під кривою - ∫ - інтеграл - a і b - межі інтегрування - f(x) - функція, яка описує криву

Обчислення площі фігури

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = 8 - 2x - x^2.

1. Знайдемо точки перетину з віссю Ox. Підставивши y = 0, отримаємо рівняння:

0 = 8 - 2x - x^2

Розв'яжемо це рівняння, щоб знайти значення x:

x^2 + 2x - 8 = 0

Факторизуємо це рівняння або використаємо квадратне рівняння:

(x + 4)(x - 2) = 0

З цього отримуємо дві точки перетину: x = -4 і x = 2.

2. Знайдемо межі інтегрування. Межі інтегрування визначаються значеннями x, визначеними на попередньому кроці. У цьому випадку межі інтегрування будуть від x = -4 до x = 2.

3. Знайдемо функцію, яка описує криву. У даному випадку це y = 8 - 2x - x^2.

4. Обчислимо інтеграл:

S = ∫[-4, 2] (8 - 2x - x^2) dx

Після обчислення цього інтегралу, отримаємо площу фігури, обмеженої лініями y = 8 - 2x - x^2.