Question

Обчислити площу фігури,обмеженої вказними лініями.y=3x^{2} +6x+5 та y=3x+11

Answer 1

3x² +6x+5 - парабола, ветви вверх. Координаты вершины:
x₀=-6/(2*3)=-1
y₀=3-6+5=2
Находим координаты точек пересечения
3x² +6x+5=3x+11
3x² +6x+5-3x-11=0
3x² +3x-6=0
x² +x-2=0
D=1²-4(-2)=1+8=9
√D=3
x₁=(-1-3)/2=-2
x₂=(-1+3)/2=1
y₁=3(-2)+11=5
y₂=3*1+11=14
A(-2;5)
B(1;14)
Делаем чертеж
Искомая площадь
$S= \int\limits^1_{-2} {[(3x+11)-(3x^2+6x+5)]} \, dx = \\ =\int\limits^1_{-2} {[3x+11-3x^2-6x-5]} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(-3x+6-3x^2)} \, dx = \\ =(-1.5x^2+6x-x^3)|_{-2}^1 =-1.5+6-1+6+12-8=13.5$
Ответ: 13,5 кв.ед.

Answer 2

Для того чтобы найти площу фігури, обмеженої вказаними лініями, спочатку потрібно знайти точки перетину цих двох ліній. Для цього встановимо їх рівності:

3x^2 + 6x + 5 = 3x + 11

Після спрощення цього рівняння отримаємо квадратне рівняння:

3x^2 + 3x - 6 = 0

Далі використаємо квадратне рівняння для знаходження значень x:

x1,2 = (-3 ± √(3^2 - 4*3*(-6))) / (2*3) x1,2 = (-3 ± √(9 + 72)) / 6 x1,2 = (-3 ± √81) / 6 x1,2 = (-3 ± 9) / 6 x1 = 2 x2 = -3

Тепер знайдемо відповідні значення y для цих x, підставивши їх у вихідні рівняння:

y1 = 3*2 + 11 = 17 y2 = 3*(-3)^2 + 6*(-3) + 5 = 14

Отже, точки перетину ліній мають координати (2, 17) та (-3, 14).

Тепер можемо знайти площу фігури, обмеженої цими лініями. Для цього скористаємося формулою для обчислення площі між двома кривими:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

де a та b - це x-координати точок перетину, f(x) та g(x) - це рівняння кривих.

S = ∫[-3, 2] |(3x^2 + 6x + 5) - (3x + 11)| dx S = ∫[-3, 2] |3x^2 - 3x - 6| dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

S = ∫[-3, 2] (3x^2 - 3x - 6) dx S = x^3 - (3/2)x^2 - 6x |[-3, 2] S = (2^3 - (3/2)*2^2 - 6*2) - ((-3)^3 - (3/2)(-3)^2 - 6*(-3)) S = (8 - 6 - 12) - (-27 - (9/2) + 18) S = -10 - (-10.5) S = 0.5

Отже, площа фігури, обмеженої вказаними лініями, дорівнює 0.5 квадратних одиниць.