Question

Найти площадь области ограниченной линиями x^2=2y+1, y=4

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$x^2=2y+1;y=4.\\2y=x^2-1\\y=0,5x^2-0,5;y=4\\0,5*x^2-0,5=4\\0,5*x^2=4,5 |:0,5\\x^2=9\\x_1=-3;x_2=3.\\S=\int\limits^3_{-3} {(4-(0,5x^2-0,5))} \, dx =\int\limits^3_{-3} {(4,5-0,5x^2)} \, dx=(4,5x-\frac{x^3}{2*3})|_{-3}^3=\\ =(4,5x-\frac{x^3}{6})|_{-3}^3=4,5*3-\frac{3^3}{6}-(4,5*(-3)-\frac{(-3)^3}{6} )=13,5-\frac{9}{2} -(-13,5+\frac{9}{2} )=\\ =13,5-4,5+13,5-4,5=27-9=18.$

Ответ: S=18 кв. ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить интеграл от разности функций, задающих эти линии, по соответствующему диапазону значений x.

Первая линия: x^2 = 2y + 1 Вторая линия: y = 4

Давайте сначала найдем точки пересечения этих двух линий, то есть решения системы уравнений:

1. Подставляем y из второй линии в первую: x^2 = 2(4) + 1 x^2 = 9 x = ±3

Таким образом, точки пересечения: (-3, 4) и (3, 4).

Теперь мы знаем, что диапазон значений x для интегрирования составляет [-3, 3]. Площадь области между этими линиями можно вычислить как разность интегралов функций y(x), задающих линии:

Площадь = ∫[a, b] (y_2(x) - y_1(x)) dx

Где y_1(x) - это уравнение первой линии, а y_2(x) - уравнение второй линии.

В данном случае: y_1(x) = (x^2 - 1) / 2 y_2(x) = 4

Таким образом, площадь будет равна:

Площадь = ∫[-3, 3] (4 - (x^2 - 1) / 2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[-3, 3] (9/2 - x^2/2) dx = [9/2x - x^3/6] | от -3 до 3 = (27/2 - 27/6) - (-27/2 + 27/6) = (27/3) + (27/3) = 18

Таким образом, площадь области, ограниченной линиями x^2=2y+1 и y=4, равна 18 квадратных единиц.