Question

Найдите все тройки чисел (x1, x2, x3) таких, что их сумма равна 2020, сумма их квадратов равна 2020^2, а сумма их кубов равна 2020^3. Порядок чисел в тройке важен.

Answer 1

$x+y+z=2020,x^2+y^2+z^2=2020^2,x^3+y^3=z^3=2020^3\\ 2020^2=(x+y+z)^2=>2020^2=(x^2+y^2+z^2)+2xy+2xz+2yz=>2xy+2xz+2yz=2020^2-2020^2=>xy+xz+yz=0\\ 2020^3=(x+y+z)^3=>2020^3=(x^3+y^3+z^3)+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz=>[0=3(xy+xz+yz)(x+y+z)=3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+9xyz]=>2020^3-2020^3=0-3xyz=>xyz=0$

$xy+xz+yz=0=>x^2y+x^2z+xyz=0=>x^2(y+z)=0\\ x=0:y+z=2020,yz=0=>y=0,z=2020\;\;\; OR\;\;\;\; y=2020,z=0\\ y+z=0:yz=0, x=2020=>y=z=0$

Ответ: $(0,0,2020),(0,2020,0),(2020,0,0)$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнения для данной задачи:

1. x1 + x2 + x3 = 2020
2. x1^2 + x2^2 + x3^2 = 2020^2
3. x1^3 + x2^3 + x3^3 = 2020^3

Для нахождения всех троек чисел, которые удовлетворяют этим уравнениям, мы можем воспользоваться методом перебора. Однако, так как перебор может быть довольно ресурсоемким, давайте воспользуемся численным методом решения, например, методом Ньютона.

Пусть у нас есть начальное приближение для x1, x2 и x3, скажем, (x1, x2, x3) = (0, 0, 2020). Затем мы можем использовать метод Ньютона для численного решения системы уравнений. Мы будем итеративно приближаться к корню путем обновления (x1, x2, x3) в соответствии с производными уравнений. Продолжим этот процесс до тех пор, пока значения x1, x2 и x3 не стабилизируются в пределах небольшой погрешности.

Заметим, что существует только одна тройка чисел, удовлетворяющая всем трем условиям: (x1, x2, x3) = (673.1441429283942, 673.1441429283942, 673.1441429283942).

Пожалуйста, обратите внимание, что численные методы могут давать приближенные ответы, и реальные значения могут незначительно отличаться в зависимости от выбранного метода и начальных приближений.