Question

Найти экстремумы функции y=x/2-x^4. ​

Answer 1

Ответ:

$( \frac{1}{2} and \frac{3}{16} )$

является локальным максимумом

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = x/2 - x^4 сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти точки, где функция может иметь экстремумы.

1. Найдем производную функции y = x/2 - x^4: y' = (1/2) - 4x^3.

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: (1/2) - 4x^3 = 0 -4x^3 = -1/2 x^3 = 1/8 x = (1/8)^(1/3) x = 1/2.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 1/2, в которой возможно наличие экстремума. Чтобы определить характер экстремума, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

3. Анализ знака производной в окрестности x = 1/2: Выберем точку слева от x = 1/2, например, x = 0. Для этой точки: y' = (1/2) - 4*0^3 = 1/2 > 0. Таким образом, производная положительна слева от x = 1/2.

   Выберем точку справа от x = 1/2, например, x = 1. Для этой точки: y' = (1/2) - 4*1^3 = -3.5 < 0. Производная отрицательна справа от x = 1/2.

Изменение знака производной при переходе через критическую точку говорит нам о наличии локального максимума в точке x = 1/2.

Итак, у функции y = x/2 - x^4 есть локальный максимум в точке x = 1/2.