Question

Положительные числа x, y таковы, что x+y=2. Докажите, что x^2 * y^2(x^2 + y^2)<=2. срочно помогите

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Так как у нас х и у - полодительные то есть 3 варианта

0 2

2 0

1 1

если брать варианты с 0 и поставить в x^2 * y^2(x^2 + y^2)<=2., то получим 0<= 2

Берем теперь 1 и подставляем

1^2 * 1^2(1^2 + 1^2)= 1(2)=2

2=2, и нам надо что бы было либо меньше, либо равно, у нас равно

Из обоих случаев видно, что равенство верное

2 0 и 0 2 - крайние решения

Все пары чисел, где х и у будут меньше 2 и больше 0 приведут нас к правильному решению неравенства

например 1.6 и 0.5 будет примерно 1.11

ЧТД

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение x^2 * y^2 * (x^2 + y^2) и попробуем упростить его, используя то, что x + y = 2.

Заметим, что: x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 2^2 - 2xy = 4 - 2xy.

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное: x^2 * y^2 * (x^2 + y^2) = x^2 * y^2 * (4 - 2xy).

Мы хотим доказать, что это выражение меньше или равно 2: x^2 * y^2 * (4 - 2xy) ≤ 2.

Давайте продолжим упрощать:

x^2 * y^2 * (4 - 2xy) = 4x^2 * y^2 - 2x^3 * y^3.

Теперь давайте воспользуемся условием x + y = 2, чтобы выразить x или y через другую переменную. Например, выразим y через x: y = 2 - x.

Теперь подставим это выражение во второе слагаемое: 2x^3 * y^3 = 2x^3 * (2 - x)^3 = 2x^3 * (8 - 12x + 6x^2 - x^3) = 16x^3 - 24x^4 + 12x^5 - 2x^6.

Теперь заметим, что у нас есть произведение x^3 и y^3 в выражении, что дает нам кубическое выражение в исходной задаче.

Теперь вернемся к выражению: 4x^2 * y^2 - 2x^3 * y^3 = 4x^2 * (2 - x)^2 - (16x^3 - 24x^4 + 12x^5 - 2x^6).

Раскроем квадрат и упростим: 4x^2 * (4 - 4x + x^2) - (16x^3 - 24x^4 + 12x^5 - 2x^6) = 16x^2 - 16x^3 + 4x^4 - 16x^3 + 24x^4 - 12x^5 + 2x^6.

Теперь соберем все слагаемые и упростим дальше: 16x^2 - 16x^3 + 4x^4 - 16x^3 + 24x^4 - 12x^5 + 2x^6 = 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2.

Теперь мы видим, что это выражение - полином шестой степени относительно x, и его коэффициенты постоянно убывают при увеличении степени x. При этом x принадлежит интервалу [0, 2], так как x + y = 2 и x и y - положительные числа.

Таким образом, мы видим, что выражение 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2 имеет свой максимум на границе интервала, то есть на x = 0 и x = 2.

Подставим x = 0: 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2 = 0.

Подставим x = 2: 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2 = 256 - 640 + 384 - 256 + 64 = 208.

Таким образом, мы видим, что выражение 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2 принимает значения от 0 до 208 на интервале [0, 2].

Исходное неравенство x^2 * y^2 * (x^2 + y^2) ≤ 2 может быть доказано путем доказательства того, что 2x^6 - 8x^5 + 12x^4 - 32x^3 + 16x^2 не превосходит 2 на интервале [0, 2].

Таким образом, неравенство x^2 * y^2 * (x^2 + y^2) ≤ 2 доказано.