Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x2 + 4 и у = 0

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное квадратное уравнение.

$-x^2+4=0 \\ \\ -x^2=-4 \\ \\ x=\pm \sqrt{4} \\ \\ x=\pm 2$

По теореме Ньютона-Лейбница найдём площадь данной фигуры.

$\int\limits^2_{-2} (-x^2+4-0) \, dx=(-\dfrac{x^3}{3}+4x)|^2_{-2}= \\ \\ -\dfrac{8}{3}+8-(-\dfrac{16}{3})=\dfrac{32}{3}=10\dfrac{2}{3}$

Ответ: $\boxed{S=10\dfrac{2}{3}}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать разность этих функций по оси x в пределах этих точек.

Первое, найдем точки пересечения линий:

1. Уравнение первой линии: y = -x^2 + 4
2. Уравнение второй линии: y = 0

Приравняем их и найдем значения x:

-x^2 + 4 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения находятся в (2, 0) и (-2, 0).

Теперь мы будем интегрировать разность функций y = -x^2 + 4 и y = 0 от -2 до 2, чтобы найти площадь между этими кривыми и осью x:

Площадь = ∫[от -2 до 2] (-x^2 + 4) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [(-x^3/3 + 4x) от -2 до 2] Площадь = [(-(2^3)/3 + 42) - ((-2^3)/3 + 4(-2))]

Площадь = [(-8/3 + 8) - (-8/3 - 8)] Площадь = [16/3 + 16/3] Площадь = 32/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, равна 32/3 единицам квадратным.