Question

Вычисли наименьшее и наибольшее значения функции y=x^3+3x^2−45x−2 на отрезке [−8;8]

Answer 1

Ответ:

y(max)=342 ; y(min)=-83

Пошаговое объяснение:

Найдём производную функции:

$y'=3x^2+6x-45$

Приравняем производную к нулю:

$y'=0\\3x^2+6x-45=0\\x_{1}= -5\\x_{2}=3$

Расставим знаки на числовой прямой:

         +                                  -                               +  

--------------------(-5)--------------------------------(3)-----------⇒x

                      max                                   min

$></p> <p>Проверим концы числового отрезка из условия:</p> <p><img src=$

Мы нашли другое наибольшее значение, его  и запишем в ответ:

$y(max)=342\\y(min)=-83$

Answer 2

Ответ:

y(3)=-83 наименьшее значение

y(8)=342 наибольшее значение

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ на отрезке $[-8, 8]$, мы можем воспользоваться производной функции. Сначала найдем производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем эти точки и концы отрезка на экстремумы.

1. Найдем производную функции $y$: $y' = 3x^2 + 6x - 45.$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 + 6x - 45 = 0.$

Решим это квадратное уравнение: $3x^2 + 6x - 45 = 3(x^2 + 2x - 15) = 0.$

Факторизуем: $(x + 5)(x - 3) = 0.$

Отсюда получаем две критические точки: $x = -5$ и $x = 3$.

3. Теперь исследуем значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка $[-8, 8]$:

   • Для $x = -8$: $y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 45(-8) - 2 = -522$.
   • Для $x = -5$: $y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = 348$.
   • Для $x = 3$: $y(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 45 \cdot 3 - 2 = -128$.
   • Для $x = 8$: $y(8) = 8^3 + 3 \cdot 8^2 - 45 \cdot 8 - 2 = 510$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-8, 8]$ равно -522 и достигается при $x = -8$, а наибольшее значение равно 510 и достигается при $x = 8$.