Question

Найти градиент функции z = xy - e^x+y в точке Мо (1; -1).

Answer 1

Ответ: grad(z)=(-1-e)*i+2*j.

Пошаговое объяснение:

grad(z)=dz/dx(M₀)*i+dz/dy*(M₀)j, где dz/dx(M₀) и dz/dy(M₀) - значения частных производных функции z в точке M₀, i и j - орты (единичные векторы) координатных осей OX и OY. Так как dz/dx=y-e^x, а dz/dy=x+1, то dz/dx(M₀)=-1-e^1=-1-e, а dz/dy(M₀)=1+1=2. Отсюда grad(z)=(-1-e)*i+2*j.

Answer 2

Для нахождения градиента функции z = xy - e^(x+y) в точке М₀(1, -1), мы должны вычислить частные производные функции по переменным x и y, а затем подставить значения x = 1 и y = -1.

Чтобы найти частную производную по переменной x, мы дифференцируем каждый член функции по x, считая y константой:

∂z/∂x = ∂(xy - e^(x+y))/∂x = y - ∂(e^(x+y))/∂x

Для вычисления второго члена ∂(e^(x+y))/∂x, мы применим правило дифференцирования сложной функции. Поэтому ∂(e^(x+y))/∂x = e^(x+y) * ∂(x+y)/∂x = e^(x+y) * 1 = e^(x+y).

Таким образом, мы получаем:

∂z/∂x = y - e^(x+y)

Аналогично, чтобы найти частную производную по переменной y, мы дифференцируем каждый член функции по y, считая x константой:

∂z/∂y = ∂(xy - e^(x+y))/∂y = x - ∂(e^(x+y))/∂y

Для вычисления второго члена ∂(e^(x+y))/∂y, мы снова применяем правило дифференцирования сложной функции. Поэтому ∂(e^(x+y))/∂y = e^(x+y) * ∂(x+y)/∂y = e^(x+y) * 1 = e^(x+y).

Таким образом, мы получаем:

∂z/∂y = x - e^(x+y)

Теперь мы можем подставить значения x = 1 и y = -1:

∂z/∂x = -1 - e^(1+(-1)) = -1 - e^0 = -1 - 1 = -2 ∂z/∂y = 1 - e^(1+(-1)) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0

Градиент функции z = xy - e^(x+y) в точке М₀(1, -1) равен (-2, 0).