Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x)=4x^2-2x^3+7

Answer 1

Ответ: f(x) возрастает на [0;4/3] ;

f(x) убывает на (-∞;0] ∪[4/3;+∞).

fmax=f(4/3)=253/27

fmin=f(0)=7

Пошаговое решение в файле

Answer 2

Давайте проанализируем функцию f(x) = 4x^2 - 2x^3 + 7 на монотонность и экстремумы. Для этого нам понадобятся производные функции.

Первая производная функции f(x) по x: f'(x) = d/dx [4x^2 - 2x^3 + 7] = 8x - 6x^2.

Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), решим уравнение: 8x - 6x^2 = 0.

Факторизуем: 2x(4 - 3x) = 0.

Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = 4/3.

Теперь найдем вторую производную: f''(x) = d^2/dx^2 [4x^2 - 2x^3 + 7] = 8 - 12x.

Подставим критические точки, чтобы определить характер экстремумов:

1. Для x = 0: f''(0) = 8 > 0, что означает, что это минимум.
2. Для x = 4/3: f''(4/3) = 8 - 12 * 4/3 = 8 - 16/3 = 8/3 - 16/3 = -8/3 < 0, что означает, что это максимум.

Итак, у нас есть минимум при x = 0 и максимум при x = 4/3. Теперь проверим монотонность функции между этими экстремумами:

1. Между x = 0 и x = 4/3:

   • Возьмем произвольную точку в этом интервале, например, x = 1.
   • Вычислим f'(1) = 8 * 1 - 6 * 1^2 = 2 > 0.
   • Так как производная положительна, функция строго возрастает на этом интервале.

2. Для x > 4/3:

   • f'(x) > 0, так как производная положительна.
   • Это означает, что функция строго возрастает на этом интервале.

3. Для x < 0:

   • f'(x) < 0, так как производная отрицательна.
   • Это означает, что функция строго убывает на этом интервале.

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

• Функция имеет минимум при x = 0 и максимум при x = 4/3.
• Функция строго возрастает на интервалах x < 0 и 0 < x < 4/3.
• Функция строго убывает на интервале x > 4/3.