Question

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см , а діагональ її основи дорівнює 6 см обчислити об'єм піраміди

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$V= \frac{1}{3} a^{2} *h$

h = 10 см

d - диагональ основы. в основе - квадрат

2а² = 6² = 36 ⇒ a²=18 (см)

V= (1/3) * 18*6 = 36 (см³)

Answer 2

Об'єм правильної чотирикутної піраміди можна обчислити за формулою:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h,$

де $S_{\text{осн}}$ - площа основи піраміди, $h$ - висота піраміди.

Спочатку нам потрібно знайти площу основи $S_{\text{осн}}$. Оскільки ми маємо справу з чотирикутною пірамідою, її основою є чотирикутник. Цей чотирикутник можна розділити на два прямокутних трикутники за допомогою діагоналі.

Маємо дані: Діагональ основи $d = 6 \, \text{см}$. Висота піраміди $h = 10 \, \text{см}$.

Спочатку знайдемо площу одного з прямокутних трикутників, який утворився розділенням чотирикутника діагоналлю.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

$S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times b,$

де $a$ і $b$ - катети прямокутного трикутника.

За теоремою Піфагора, маємо:

$a^2 + b^2 = d^2.$

Підставимо значення діагоналі:

$a^2 + b^2 = 6^2 = 36.$

Оскільки ми шукаємо катети, то можемо розв'язати цю систему рівнянь. Наприклад, можемо прийняти $a$ за один з катетів і підставити його значення в рівняння для $b$. Нехай $a = 3 \, \text{см}$, тоді:

$b^2 = 36 - a^2 = 36 - 3^2 = 27 \, \text{см}^2.$

$b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{см}.$

Тепер маємо площу одного з прямокутних трикутників:

$S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 3 \, \text{см} \times 3\sqrt{3} \, \text{см} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2.$

Оскільки основа піраміди складається з двох таких прямокутних трикутників, то площа основи $S_{\text{осн}} = 2 \times S_{\text{тр}} = 2 \times \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2 = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2$.

Тепер можемо обчислити об'єм піраміди:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \times 10 \, \text{см} = 30\sqrt{3} \, \text{см}^3.$

Отже, об'єм піраміди дорівнює $30\sqrt{3} \, \text{см}^3$.