Question

Знайти критичні точки функції f(x)=x3-6x2+3

Answer 1

f(x)= x³–6x²+3.

Чтобы найти критические точки, нужно найти производную.

f '(x)= 3x²–12x= 3x(x–4).

Критическими точками функции называют такие точки, в которых производная данной функции равна нулю или не существует.

То есть производную следует приравнять к нулю и таким образом мы сможем найти критические точки:

3х(х–4)=0;

х=0 и х=4 — критические точки.

ОТВЕТ: 0 и 4.

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції $f(x) = x^3 - 6x^2 + 3$, спершу знайдемо похідну цієї функції та прирівняємо її до нуля:

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 3$

$f'(x) = 3x^2 - 12x$

Теперішнє рівняння $f'(x) = 0$ ми можемо розв'язати для $x$:

$3x^2 - 12x = 0$

Виділимо спільний множник $3x$:

$3x(x - 4) = 0$

Таким чином, маємо два можливі значення $x$:

1. $x = 0$
2. $x = 4$

Ці значення $x$ відповідають можливим критичним точкам функції $f(x)$. Тепер ми можемо використовувати другу похідну та тест додатності/від'ємності для визначення характеру цих точок (мінімум, максимум, точка перегину).

Друга похідна $f''(x)$ функції $f(x)$ дорівнює:

$f''(x) = 6x - 12$

Підставимо знайдені критичні точки $x = 0$ та $x = 4$ у другу похідну:

1. $x = 0$: $f''(0) = 6 \cdot 0 - 12 = -12$

2. $x = 4$: $f''(4) = 6 \cdot 4 - 12 = 12$

Отже, маємо наступні результати:

1. Для $x = 0$, $f''(x) < 0$, отже, це може бути точка локального максимуму.
2. Для $x = 4$, $f''(x) > 0$, отже, це може бути точка локального мінімуму.

Загалом, критична точка $x = 0$ може бути локальним максимумом, а критична точка $x = 4$ може бути локальним мінімумом для функції $f(x) = x^3 - 6x^2 + 3$.