Question

В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров, наудачу берут 3 шара. Какова вероятность, что все 3 окажутся черными? В партии 20 деталей, из них 3 бракованных. Наудачу берут 3 – какова вероятность, что 2 из них будут бракованными?

Answer 1

Первый чёрный шар можно достать с вероятностью $\frac{8}{20}$, второй  - $\frac{7}{19}$ и третий - $\frac{6}{18}$. Все три наугад выбранные шара окажутся чёрными равна $\frac{8}{20}\cdot \frac{7}{19}\cdot \frac{6}{18}=\frac{14}{285}$.

Число общих элементарных исходов равно числу способов вынуть три детали из 20, т.е. $C^3_{20}=\frac{20!}{3!17!}=1140$. Число благоприятных исходов : $C^2_{3}\cdot C^1_{17}=3\cdot 17$. Вероятность того, что среди трёх выбранных наугад шаров 2 из них будут бракованными равна $\frac{3\cdot17}{1140}=\frac{17}{380}$

Answer 2

1. Событие А - 3 наудачу выбранных чёрных мяча.
2. Событие А - 2 выбранные бракованные детали.

Answer 3

Давайте рассмотрим оба вопроса поочередно:

1. Вероятность, что все 3 шара, взятые наудачу, окажутся черными:

   Сначала рассмотрим вероятность взять первый черный шар: 8 черных шаров из 20 в общей урне, поэтому вероятность взять черный шар равна 8/20.

   После того как первый шар взят, в урне остается 7 черных шаров и 19 шаров в общей сложности. Вероятность взять второй черный шар равна 7/19.

   Теперь, когда уже взяты два черных шара, в урне остается 6 черных шаров и 18 шаров в общей сложности. Вероятность взять третий черный шар равна 6/18.

   Таким образом, общая вероятность того, что все 3 шара окажутся черными, составляет: (8/20) * (7/19) * (6/18) ≈ 0.0305 или около 3.05%.

2. Вероятность, что 2 из 3 взятых деталей будут бракованными:

   Рассмотрим вероятность выбрать первую бракованную деталь: 3 бракованные детали из 20 в общей партии, поэтому вероятность выбрать бракованную деталь равна 3/20.

   После того как первая бракованная деталь взята, остается 2 бракованные детали из 19 в общей партии. Вероятность выбрать вторую бракованную деталь равна 2/19.

   Теперь рассмотрим вероятность выбрать небракованную деталь: 17 небракованных деталей из 18 оставшихся, поэтому вероятность выбрать небракованную деталь равна 17/18.

   Общая вероятность того, что 2 из 3 деталей будут бракованными, составляет: (3/20) * (2/19) * (17/18) ≈ 0.0444 или около 4.44%.