Question

Участок имеет форму прямоугольной трапеции с острым углом 30 градусов. Периметр трапеции равен 24. Определите максимально возможную площадь участка.

Answer 1

a - большее основание трапеции,

b - меньшее основание трапеции,

h - высота и меньшая боковая сторона трапеции (трапеция прямоугольная)

c - большая боковая сторона трапеции.

sin(30°) = h/c = 1/2,

отсюда c = 2h.

P = a+b+h+c = 24,

c = 2h

a+b+h+2h = 24,

a+b = 24 - 3h,

S = (a+b)*h/2 = (24 - 3h)*h/2 = (12h - 1,5h²),

dS/dh = (12h - 1,5h²)' = 12 - 1,5*2h = 12 - 3h = 3*(4 - h),

Максимум функции S = S(h) в точке h = 4.

Smax = S(4) = 12*4 - 1,5*4² = 48 - 3*2*4 = 48 - 24 = 24.

Ответ. 24.

Answer 2

Пусть данная прямоугольная трапеция имеет следующие стороны:

AB - верхняя основа, CD - нижняя основа, BC - боковая сторона, DA - боковая сторона (параллельная BC).

Также дано, что угол BAC равен 30 градусам и периметр трапеции равен 24:

AB + BC + CD + DA = 24.

Угол BAC равен 30 градусам, следовательно, угол CAD (верхний угол трапеции) равен 180 - 30 = 150 градусов. Учитывая, что внутренние углы треугольника в сумме дают 180 градусов, угол CDA равен (180 - 150) / 2 = 15 градусов.

Так как угол CDA равен 15 градусам, то можно записать:

sin(15°) = BC / AD.

С другой стороны, так как трапеция прямоугольная, AD = BC. Поэтому:

sin(15°) = BC / BC, sin(15°) = 1 / √6.

Теперь можно найти длину боковой стороны BC:

BC = (1 / √6) * BC.

Периметр трапеции:

AB + BC + CD + DA = AB + 2 * BC + CD = 24.

Так как AB = CD (основы равны) и DA = BC (боковые стороны равны), можно записать:

2 * AB + 3 * BC = 24, AB + 3/2 * BC = 12, BC = (12 - AB) * 2/3.

Теперь вставим выражение для BC из выражения BC = (1 / √6) * BC:

BC = (12 - AB) * 2/3, (1 / √6) * BC = (12 - AB) * 2/3, BC = √6 * (12 - AB) / 3.

Теперь мы имеем выражение для BC в терминах только AB. Чтобы максимизировать площадь трапеции, нужно максимизировать произведение AD * BC. Площадь трапеции можно выразить через боковую сторону BC и основы AB:

Площадь = 1/2 * (AB + CD) * AD, Площадь = 1/2 * (AB + AB) * BC * sin(15°), Площадь = AB * BC * sin(15°).

Подставим значение BC:

Площадь = AB * √6 * (12 - AB) / 3 * sin(15°).

Теперь мы имеем площадь S как функцию только от AB:

S(AB) = AB * √6 * (12 - AB) / 3 * sin(15°).

Для максимизации площади S, возьмем производную по AB и приравняем ее к нулю:

dS/dAB = (√6 / 3) * (12 - 2 * AB) * sin(15°) = 0.

Отсюда получаем:

12 - 2 * AB = 0, AB = 6.

Таким образом, максимально возможная площадь участка достигается, когда верхняя основа AB равна 6 единицам. Остальные стороны трапеции также можно вычислить:

CD = AB = 6, BC = √6 * (12 - AB) / 3 = √6 * 6 / 3 = 2 * √6.

Теперь можно вычислить площадь:

Площадь = 1/2 * (AB + CD) * BC * sin(15°), Площадь = 1/2 * (6 + 6) * (2 * √6) * sin(15°), Площадь ≈ 37.24.

Итак, максимально возможная площадь участка примерно равна 37.24 единицам квадратным.